連立方程式

質問

情けないことですが、次の連立方程式の解き方を忘れてしまいました。なんとか途中まで簡単な式になったのですが、どうやってもゼロになってしまいます。クラメルでもゼロになってしまって。。。解説をお願いします。

x-3y+4z=-3　　(1)式
5x+2y+3z=2　　(2)式
x-y+2z=-1　　 (3)式

代入、消去でなんとか以下の式までになりました。

x+z=0　　(4)式
x+y=1　　(5)式
y-z=1　　(6)式

回答No.7

oyaoya65 · ベストアンサー

x+z=0　　(4)式
x+y=1　　(5)式
y-z=1　　(6)式
この３つの式は確かに出てきますが
(5)-(4)から(6)式が出て来ます。
つまり、(4)式～(6)式の3個の式があっても3個の式は独立ではないということですね。
つまり、3つの式の1つは他の2つの式から出てくるので
どれか2つの式と同値、つまり2つの式があるのと同じになります。
変数が3個あって2個の方程式しかないわけですから、方程式は解けませんね。（通常不定形といいます。変数の数に対して、独立な方程式の数が変数の数より少ない場合にです。）

x=kと置けば
y=1-k,z=-k(kは任意の定数)
となり、(x,y,z)の解は一意に定まらないということです。
つまり、(x,y,z)=(k,1-k,-k) (kは任意の定数9
ということですね。

もう、１つ独立な方程式があればkが確定しますね。

お礼

なるほど！大変よく分かりました!
そうでしたか、不定形と言うのですね。どうも式を変形するたびに同じになってしまって、やっとの思いで(4)～(6)にしてみたのですが、2つしかなかったのですね。
こういう場合は、任意の定数ｋと置くのですか。
それで当てずっぽうでも色々な答えが出てきたんですね。
ありがとうございました。

回答No.6

noname#17565

わかりました。

私の出した回答 (x,y,z)=(0,1,0)だけではなく、(x,y,z)=(-4,5,4)でも３式とも成立してしまいますね。

で、解が複数あるということなんですね。ありがとうございました。

お礼

度々、ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

回答No.5

noname#17565

corpusさんに質問なのですが、

＞つまり、y-z=1となるような関係(y,z)の組ならすべて満たしてしまいます。
＞ひとつには決まらないということです。

ということですが、この場合、xはなんでもいいのでしょうか？
だったら、y=5,z=4だった場合、y-z=1は成立するのですが、
(1)の式は、xが特定の数にならなければ成立しないように見えるのですが。

すいません。素人だもんで、勘違いしてるかもしれません。

お礼

最初は、x=0、y=1、z=0だと思ったのですが、適当な数字で試行錯誤していると、色々出来てしまうんです。
ありがとうございました。

回答No.4

lock_m

No.1です。
どうやら勘違いしていたようで、逆行列がない＝解がない、と思い込んでいました・・・。

ごめんなさいm(_ _)m
専門家で、しかも自信ありにしてたのに恥ずかしいっ!!

お粗末さまでした～。

お礼

いえいえ、ありがとうございました。
また、何かありましたら、よろしくお願いします。

回答No.3

corpus

２元２次の連立方程式のとき
ax+by=c
ax+by=c
このときグラフは完全に重なってしまいます。
交点でなく「交線」になってしまいます。

ところで(1)-(3)は
y-z=1
そして(2)-5*(3)は
y-z=1
になります。
同じように交点でなく「交線」になってしまいます。
つまり
y-z=1
となるような関係(y,z)の組ならすべて満たしてしまいます。
ひとつには決まらないということです。

お礼

＞このときグラフは完全に重なってしまいます。
＞交点でなく「交線」になってしまいます。

そういうことでしたか!
もう、これぐらいは普通に解けるものだと思っていたので、何で解けないのか理由がわかりませんでした。やっとすっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#17565

普通に解けば、次のようになると思います。

x-3y+4z=-3　　(1)式
5x+2y+3z=2　　(2)式
x-y+2z=-1　　 (3)式

(3)-(1)
(x-x)(-y+3y)(2z-4z)=-1+3
2y-4z=2
y-2z=1 ----------(4)

(2)-5*(3)
(5x-5x)(2y+5y)(3z-10z)=2+5
7y-7z=7
y-z=1
y=z+1 ----(5)

(4)に(5)を代入して
(z+1)-2z=1 z-2z+1=1 -z=0 z=0

これを(4)に代入して
y-2*0=1 y=1

y=1,z=0を(1)に代入すると
x-3*1+4*0=-3 x=-3+3-0 x=0

よって、x=0,y=1,z=0が答えではないでしょうか。

お礼

なるほど！色々試したつもりでしたが、(3)-(1)で(4)を導いてはいませんでした。(1)-(3)では、できなくなってしまって、堂々巡りのようになっていました。
ありがとうございました。

回答No.1

lock_m

こんにちは、lock_mと言います。
まず結論から言って、この連立１次方程式は解を持たないはずです。
アプローチの仕方はいくつかあると思うのですが、線形代数の観点から、まず3つの式を係数の行列と変数の行列に分けて考えます。

係数行列A(3行3列)を
(1 -3 4
5 2 3
1 -1 2)
変数の行列X(3行1列)を
(x
y
z)
あと、b(3行1列)を
(3
2
-1)
とすると
AX=bとあらわせますね。

Xを求めたいとき両辺に左から逆行列inv(A)を掛ければ求まりますよね。でもこの場合、Aは逆行列を持ちません。
したがって解を持たない。と言うのが1つのアプローチです。

またAとbを横に並べて[A|b]を簡約化するのも一つの方法です。
参考になりましたでしょうか？

お礼

今回は、違ったようでしたが、行列を用いて解く方法もありましたね。行列は苦手でしたので、思いつきもしませんでした。今後は、役立てられるよう記憶に留めて置きたいと思います。
ありがとうございました。