微分方程式の問題

質問

次の微分方程式を解いてください。

p=dy/dxとする。

(1)y=2xp+yp^2

(2)y=p+√(1+p^2)

よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44

A No.1 です。
先日示した解法による回答を書いておきます。

(1)
y = 2xp + yp^2　の両辺に y を掛けると、
y^2 = 2xyp + (yp)^2.　yp が目につきます。
ここで z = y^2 と置換すると、z' = 2yy' より
z = xz' + (z'/2)^2.
二次方程式を解いて、z' + 2x = ±2√(z + x^2).
w = z + x^2 で再度置換すると、
(w')(1/2)w^(-1/2) = ±1 と変数分離できて
w^(1/2) = ±x + C　(C は任意定数).
置換を復元して、y^2 = - x^2 + (±x + C)^2.
整理して、y = √(2Ax+A^2) または -√(2Ax+A^2).
(A は ±C をまとめたもので、積分定数です)

y の２階微分可能は、原式から導くこともできますが、
この解法では、示しておく必要がありません。

(2)
y - p = √(1 + p^2)　の両辺を二乗して、
y^2 - 2py = 1.
ここで z = y^2 と置換すると、z' = 2yy' より
z - z' = 1.
これは変数分離形であり、z'/(z - 1) = 1 を積分して
log(±(z - 1)) = x + C (C は任意定数).
置換を復元して、y^2 = 1 ± e^(x+C).
整理して、y = √(1 + A e^x) または -√(1 + A e^x).
(A は、±e^C をまとめたもので、積分定数です)

回答No.4

ferien

ANo.3です。以下のように訂正お願いします。
＞両辺にｙを掛けて、
＞ｙ^2＝２ｘｐｙ＋ｙ^2ｐ^2

回答No.3

ferien

p=dy/dxとする。

＞(1)y=2xp+yp^2
ｚ＝ｙ^2とすると、ｚ'＝dz/dx＝２ｙ（dy/dx）＝２ｐｙより、ｐｙ＝ｚ'／２
両辺を２乗して、
ｙ^2＝２ｘｐｙ＋ｙ^2ｐ^2
ｚ＝ｘｚ'＋ｚ'^2/4
４ｚ＝４ｘｚ'＋ｚ'^2　……（１）
両辺を微分して、
４ｚ'＝４ｚ'＋４ｘｚ''＋２ｚ'ｚ''より、
２ｚ''（２ｘ＋ｚ'）＝０より、ｚ''＝０または、ｚ'＝－２ｘ
ｚ''＝０より、ｚ'＝Ｃ　（１）に代入して、
４ｚ＝４ｘＣ＋Ｃ^2　より、ｚ＝Ｃｘ＋（Ｃ^2／４）
よって、ｙ^2＝Ｃｘ＋（Ｃ^2／４）（一般解）

＞(2)y=p+√(1+p^2)
ｙ－ｐ＝√(1+p^2)
両辺を２乗して、
（ｙ－ｐ）^2＝１＋ｐ^2
ｙ^2－２ｐｙ＋ｐ^2＝１＋ｐ^2より、
２ｐｙ＝ｙ^2－１
２ｙ（dy/dx）＝ｙ^2－１
｛ｙ／（ｙ^2－１）｝ｄｙ＝(1/2)ｄｘ
(1/2)｛（ｙ^2－１）'／（ｙ^2－１）｝ｄｙ＝(1/2)ｄｘより、
｛（ｙ^2－１）'／（ｙ^2－１）｝ｄｙ＝ｄｘ
両辺を積分して、
log｜ｙ^2－１｜＝ｘ＋Ｃ
　　　　　　　　＝logｅ^x・ｅ^C
｜ｙ^2－１｜＝ｅ^Cｅ^x
ｙ^2－１＝±ｅ^Cｅ^x
±ｅ^C＝Ｃとおくと、
ｙ^2＝Ｃｅ^x＋１

になりました。

回答No.2

Ae610

(1)；y^2 = 2Cx＋C^2 (Cは積分常数)
(2)；log((y^2－1)/2) = x＋C (Cは積分常数)

回答No.1

alice_44

どちらも、z=(yの2乗) で置換すれば変数分離形になる問題。
(1) 両辺を y 倍してから、置換。
(2) √=… の形に変形して、両辺を二乗してから、置換。