微分方程式の問題 なぜこうなる

質問

問題の解説が、わかりません。
微分方程式で、

dy/dx = (1+y^2) / (1+x^2)

この式の形を変えると、

∫　1 / (1+y^2) dy = ∫　1/ (1+x^2) dx　　

という風になる　とありました。

どうしてこうなるのでしょうか？

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

>dy/dx = (1+y^2) / (1+x^2)

　dy/dxは、1階微分です。どうしてそうしてよいかは割愛しますが（※へ）、分数と同じに扱えます。なお、2階微分のd^2y/dx^2となるとそうはできません。3階微分以上も同じです。

　ですので、

　dy/dx = (1+y^2) / (1+x^2)
∴dy = {(1+y^2) / (1+x^2)}dx
∴{1/ (1+y^2)}dy = {1 / (1+x^2)}dx

と変形できます。このまま両辺の不定積分にしてよく、それがお示しの、

>∫　1 / (1+y^2) dy = ∫　1/ (1+x^2) dx

です。

P.S.

※変化量をΔ（デルタ）という記号で表すのですが、Δｙ/Δxで、x→0のとき、y→0になるなら、その極限をdy/dxとする、という簡便な説明ならあります。現在の数学では、もっときちんと定義されているので、イメージ的なものとしてお考えください。

お礼

分数として扱っても良い、という説明が、ものすご～くわかりやすかったです！
どうもありがとうございました！

回答No.3

rnakamra

dy/dx = (1+y^2) / (1+x^2)
を
dy/(1+y^2)=dx/(1+x^2)
として
∫dy/(1+y^2)=∫dx/(1+x^2)
とする、というのはよくやる計算です。これに慣れておくとよいでしょう。

でも、これって何か単なるこじつけのような気がしないでもないです。

実際は次のような計算をしているのです。

dy/dx = (1+y^2) / (1+x^2)
この式の両辺を(1+y^2)で割る。
{1/(1+y^2)}dy/dx=1/(1+x^2)
この両辺をxで積分する。
∫[{1/(1+y^2)}dy/dx]dx=∫dx/(1+x^2)
左辺をよく見ると、置換積分の式を逆に用いると
∫{1/(1+y^2)}dy=∫dx/(1+x^2)
となります。
つまり、dxが約分された、というのは実は置換積分の公式で(dy/dx)dx=dyになったということなのです。

お礼

置換積分についても、もっと知りたいと思っていました。
こういうところで、実例をだしてもらえたので、助かりました！

ありがとうございました！

回答No.1

Knotopolog

書き方が良くありません．正しくは，

∫ dy/(1+y^2) ＝ ∫ dx/(1+x^2)

です．

お礼

はい！
どうもです！