微分方程式について、

質問

微分方程式について、
dy/dx=y^2＋yの解き方がよくわかりません。。。

というか微分方程式について、教科書とか読んでもあまり理解できませんでした。

どなたかわかりやすく教えていただけるとありがたいです。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

dx/dy = 1/(y^2＋y) と書き換えてみましょう。
それでも、x を y の関数として求められないならば、
微分方程式以前の時点で躓いているということです。
最後に逆関数を求めて終わり。

回答No.3

Knotopolog

dy/dx＝y^2＋y の解き方

この微分方程式を変形すると，
dy/dx －y＝y^2
となります．これは，ベルヌーイ型の微分方程式と言われるものです．
ベルヌーイ型の微分方程式の解き方は分かっています．この場合は，
u ＝ 1/y
と置きます．こうおくと解法が分かっている１階線形常微分方程式になるので，
こう置くのです．u ＝ 1/y の両辺を x で微分すると，
u' ＝ －y'/y^2
なります．dy/dx －y＝y^2 を (dy/dx)/y^2 －1/y＝1 と変形して，
代入し．計算すると，
－u'－u＝1
u'＋u＝－1
u'＝－u－1
du/dx＝－u－1
du/(u＋1)＝－dx
となります．これを積分すると，A を積分定数として，
log(u＋1)＝－x ＋A
となります．これを計算してゆくと，
u＋1＝exp(A－x)
u＝B・exp(－x)－1
1/y＝B・exp(－x)－1

y＝1/[B・exp(－x)－1]

となります．これが，答えで，微分方程式　dy/dx＝y^2＋y の一般解です．
それから，B は積分定数で，B＝exp(A) です．

（検算）

y'＝－[－B・exp(－x)]/[B・exp(－x)－1]^2
y'＝[B・exp(－x)]/[B・exp(－x)－1]^2

dy/dx＝y^2＋y にいれると

[B・exp(－x)]/[B・exp(－x)－1]^2＝
＝1/[B・exp(－x)－1]^2 ＋ 1/[B・exp(－x)－1]
＝1/[B・exp(－x)－1]^2 ＋ [B・exp(－x)－1]/[B・exp(－x)－1]^2
＝{1＋[B・exp(－x)－1]}/[B・exp(－x)－1]^2
＝{1＋B・exp(－x)－1}/[B・exp(－x)－1]^2
＝{B・exp(－x)}/[B・exp(－x)－1]^2

となるので，答えの一般解は正しいです．

回答No.2

OKXavier

まず、基本の変数分離形を理解して下さい。
教科書を判るまでしっかり読みましょう。それしかありません。

y'=y^2+y
y'/(y^2+y)=1
y'/{y(y+1)}=1
y'{1/y-1/(y+1)}=1
y'/y-y'/(y+1)=1

両辺の積分形をつくり求めます。

回答No.1

inara

y = 1/( p(x) - 1 ) とおいて、p(x) に関する微分方程式を作り、p(x) について解いて、y = 1/( p(x) - 1 ) に代入します。