微分方程式の途中で対数方程式が出てきて解けません

質問

回答者の皆様、いつもお世話になります。

微分方程式　(x^2+1)y´-xy=０　です。
単純に変数分離して　(x^2+1)y´=xy
y´/y=x/(x^2+1)
(dy/dx)・(1/y)=x/(x^2+1)
∫1/y dy=∫x/(x^2+1) dx
log|y|+C1=log|x^2+1|^(1/2)+C2 (Cは積分定数です)

ここからが自信がありません…

log|y|+loge^C1=log|x^2+1|^(1/2)+loge^C2
log{|y|C1}=log{|x^2+1|^(1/2)C2}
|y|C1=|x^2+1|^(1/2)C2
|y|=｛ |x^2+1|^(1/2)C2 ｝/C1
y=±{ |x^2+1|^(1/2)×(C2/C1) }

∴　y=±{ |x^2+1|^(1/2)C }
(任意定数Cにより±を明記する必要がなくなりますよね？)
y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか？

お手数をお掛けいたします。

又、別の問題になるのですが、
y´´´－３y´´+3y´-1y=e^(2x)+xという問題ですが、

右辺をxの一次式として考えて、２階微分すれば０なので、
3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか？

それとも、特性方程式を３次式としてカルダノの解法を考えるべきなのでしょうか？

アドバイスをお願い致します。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1)
＞y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか？

　言えますよ。
　しかし、積分定数を2つも置くなど回り道をしている感じがします。効率よく解くとよいと思います。

＞y´/y=x/(x^2+1)
　dy/y=xdx/(x^2+1)　　← 早めに　y' を dy/dx に変えましょう。
　log|y|=(1/2)log|x^2+1| +C 　　　←積分定数は片方だけにしましょう。
　y=C'√(x^2+1)　　　　←　C'=±exp(C) として定数を置き直します。

2)
＞右辺をxの一次式として考えて、２階微分すれば０なので、
＞3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか？

　右辺に e^(2x) があるので、よくありません。
　e^(2x) の冪級数展開を考えれば分かりますが、xの無限乗の多項式になります。
　　　e^(2x)=Σ[n=0→∞] (2x)^n/n! = 1+2x+2x^2+4x^3/3+2x^4/3+・・・

　ここは特性方程式を考えても、微分演算子Dを考えても構いません。
　特性方程式にすれば　t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3 と3重解になりますので、同次方程式の一般解が次のように得られます。

　　（同次方程式の一般解） y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x　　（A,B,C:積分定数）

　次に、非同次方程式の特殊解を求めます。
　まず、右辺がxだけのときについて考えますと、yはxの1次式 y=ax+b と考えることができますので、部分方程式に入れて　a+b=0,a=-1 から　y=-x+1 が得られます。
　そして、右辺がe^(2x)だけのときについて考えますと、y=e^(2x) であれば微分方程式を成立させることが分かります。
　以上のことから、与えられた微分方程式の一般解は次のように求められます。

　　（非同次方程式の一般解）　y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x +e^(2x) -x+1　（A,B,C:積分定数）

お礼

先日からお世話になり、ありがとう御座います。
最近、少しだけ微分方程式への抵抗感がなくなってきました。

苦手な分野には違い無いのですが…orz

>>右辺に e^(2x) があるので、よくありません。
深く考えず、先日教えていただいた方法を適用してしまいました。

>>e^(2x) の冪級数展開→xの無限乗の多項式
代数学の科目でやりました…ちょっと考えれば気づけそうなのに…

ともあれ、とても参考になりました、ありがとう御座います。

回答No.2

info22_

>log|y|+C1=log|x^2+1|^(1/2)+C2 (Cは積分定数です)
C1を右辺に移項する

log|y|=(1/2)log|x^2+1|+C2-C1
両辺を2倍するとx^2+1>0なので

log(y^2)=log(x^2+1)+2(C2-C1)
=log(x^2+1)+log(e^(2(C2-C1)))
=log(x^2+1)+logC
ここで　C=e^(2(C2-C1))(C>0) と置くと
log(y^2)=log(C(x^2+1))
y^2 =C(x^2+1)　(C＞0) …（■）
となります。

上記のようにすれば±も出てきません。
>∴　y=±{ |x^2+1|^(1/2)C }
>(任意定数Cにより±を明記する必要がなくなりますよね？)
>y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか？
言えません。
上の（■）とは微妙に違いますね。

yの正負とCの符号の関係が明確に表現
できておらず減点対象になるでしょう。

>y'''-３y''+3y'-y=e^(2x)+xという問題ですが、

独立した質問として下さい。

>右辺をxの一次式として考えて、２階微分すれば０なので、
>3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか？
だめです。

>それとも、特性方程式を３次式としてカルダノの解法を考えるべきなのでしょうか？
簡単に因数分解できるのでそこまで考える必要ないでしょう。

y'''-３y''+3y'-y=0の特性方程式は
s^3-3s^2+3s-1=(s-1)^3=0
∴s=1(３重解）
なのでy'''-３y''+3y'-y=0の一般解は
y=(C1*x^2 +C2*x+C3)e^x
となります。

これに特殊解を加えれば良いでしょう。

お礼

いつもありがとう御座います。

>>yの正負とCの符号の関係が明確に表現
>>できておらず減点対象になるでしょう。

とても参考になります。ご指摘の通り”yの正負とCの符号の関係”が分かっていませんでした。

>>独立した質問として下さい
すいません、失礼しました。

今回ご指導いただいた、info22_さんとMr_Hollandさんのどちらのご回答も的確ですので、先にご回答いただいたMr_Hollandさんをベストアンサーにさせて頂きます。ご了承、お願いします。