微分方程式の解き方がわかりません

質問

[x`=ax+cos t]　

という問題で、答えが　　「Ｃe^(at)　＋sin t -a　cos t / a^2＋1　(Ｃは任意定数とする)」というものです。お手数おかけしますがよろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞[x`=ax+cos t]　
という問題で、
＞答えが　　「Ｃe^(at)　＋｛（sin t -a　cos t ）/ （a^2＋1）｝　(Ｃは任意定数とする)」
になりました。
１階線形微分方程式として解いてみました。
ｘ'－ａｘ＝cos（ｔ）　Ｐ(t)＝ａ，Ｑ(t)＝cos（ｔ）より、∫Ｐ(t)ｄｔ＝ａｔ
ｘ＝ｅ^(at)（∫ｅ^(-at)cos(ｔ)ｄｔ＋Ｃ）……（１）
∫ｅ^(-at)cosｔｄｔ　を２回部分積分する。
ｆ'＝cos（ｔ），ｆ＝－sin（ｔ），ｇ＝ｅ^(-at)，ｇ'＝－ａｅ^(-at)より
＝ｅ^(-at)sin（ｔ）＋ａ∫ｅ^（-at)sin（ｔ）ｄｔ
ｈ'＝sin（ｔ），ｈ＝-cos（ｔ）とｇ，ｇ'より
＝ｅ^(-at)sin（ｔ）＋ａ｛－ｅ^(-at)cos（ｔ）－ａ∫ｅ^(-at)cos（ｔ）ｄｔ｝
＝ｅ^(-at)sin（ｔ）－ａｅ^(-at)cos（ｔ）－ａ^2∫ｅ^(-at)cos（ｔ）ｄｔ
ａ^2∫ｅ^(-at)cos（ｔ）ｄｔを左辺に移項して、
（ａ^2＋１）∫ｅ^(-at)cos（ｔ）ｄｔ＝ｅ^(-at)sin（ｔ）－ａｅ^(-at)cos（ｔ）
∫ｅ^(-at)cos（ｔ）ｄｔ＝｛ｅ^(-at)sin（ｔ）－ａｅ^(-at)cos（ｔ）｝／（ａ^2＋１）
これを（１）へ代入すると、答えになります。

計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.4

ferien

ANo.2です。済みません。再びミスです。以下のように訂正お願いします。（計算は合っています。）

＞ｘ'－ａｘ＝cos（ｔ）　Ｐ(t)＝－ａ，Ｑ(t)＝cos（ｔ）より、∫Ｐ(t)ｄｔ＝－ａｔ

他に何か間違いがあったら、連絡下さい。

回答No.3

ferien

ANo.2です。済みません。以下のように訂正お願いします。

＞ｆ'＝cos（ｔ），ｆ＝sin（ｔ），
です。計算は合っています。

回答No.1

Tacosan

定数変化法