数字のパラドックスを考えました！

質問

(1)まず、ある直線の長さを『1』と決めます、

(2)次に、その直線を3つ繋げると『3』になります、

(3)次に、その3つ繋がった直線を三等分すると、もちろんきっちり三等分することが出来て『1』になります。

(4)次にここで、先程の3つ繋がった直線を『1』と新たに決めます、ところが、その新たな『1』を三等分すると『0.3333‥‥』になってしまい、きっちりと三等分に分けることが出来なくなってしまいました‥‥。

《疑問》(2)の『3』と(4)の『1』は同じ長さの直線であるにも関わらず、何故、(2)の『直線3』はきっちりと三等分出来たのに、(4)の『直線1』はきっちりと三等分出来なくなってしまったのでしょうか？

回答No.12

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

数学的には、長さ１の線分をきっちり三等分することはできます。
ただ、「三等分した長さ」を「有限桁の（10進数）表記では表現できない」というだけのことです。

さて、では、0.333.... という数字は何でしょうか？
思いつきで、「0.3333 とどこまでも３が続く」と考えてそこで考えるのをやめてしまうと正しい答えにはたどり着きません。

ひとつの定義は、

「0.3, 0.33, 0.333, 0.3333 と続く数列の極限値」というものです。

これは、1/3 と等しいことが証明できます。

つまり、0.3333.... と書いてしまえば、そして、上記の定義を採用するなら、これは、1/3 と数値としては同じものになります。

10進数で有限桁で表させる範囲というのは、数学上表現力はかなり限定されるので、10進数有限桁で表現できない数値はいくらでもあります。

回答No.7

alice_44

1/3 は、不確かではない。
不確かなのは、0.333… のほうです。
だって、ちゃんと最後まで書けてないじゃない。
… で省略した部分は、イメージ戦略だけで、
十進小数で書いたことにはなりません。
これは、数学のバラドクスではなく、
十進表記がどんなに不便か
というだけの問題です。これだから、
ビタゴラス一門は、有理数しか信じなかった
のです。
まあ、十進表記には十進表記の
いいところもあるんですがね。
いづれにせよ、質問の点は、1/3 という数を
紙の上にどう書くかという話で、
1/3 がどんな数かとは関係ないことなんです。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

３等分できるということとそれを有限の長さで
表現できるということは関係ないです。

３進法で表現すれば有限の長さで表現できます。
これは表現の仕方の都合に過ぎないです。

回答No.5

kabaokaba

えーと・・・amluqhx氏は1と0.9999.....は等しくないと思ってる人なので
すなわち，0.33333.......は1/3じゃないんです．

逆に言えばこの「パラドクス」とやらが
0.333....=1/3を意味しているとは思わないのか
疑問で仕方がないでのすが．

回答No.4

Knotopolog

３を新たに，１としているところに，矛盾が生じている．　１＝３？　　１≠３　なので，ただそれだけのこと！　思索の深さがたりないというところかな！！

補足

ご回答ありがとうございます！

1＝3ということではありません、

私が、『ある長さの棒』を『3』と決め、一方で、その事を知らない誰かがその『ある長さの棒』を『1』と基準に決めているかもしれません、

そうすると、私にとっての『3』が、知らない誰かにとっての『1』なのかも知れないということです、そうすると、私は『ある長さの棒』をきっちり三等分に分けることが出来るのに、知らない誰かは『ある長さの棒』をきっちり三等分に分けることが出来ないということです、しかし、『ある長さの棒』は私にとっても知らない誰かにとっても同じ長さの棒なのです。

回答No.3

大明神（@bathbadya）

数字的に気持ちいい数にならないってことだね。
１０進数で考えるとそうなるけど、例えば、１時間って考えれば２０分づつに気持ちよく分けれます
角度の単位の１度なら２０分

回答No.2

sucosucox3

（4）で1と決めたのは単なる名前を付けただけなので、パラドックスと言うより言葉遊びですね。

1の代わりに1.5と言う名前を付ければ割り切れます（＾Ｏ＾）

補足

ご回答ありがとうございます！

しかし、私が決めた『1』を3つを繋げて作った『3』を、それを知らない誰かは『1』と基準に決めるかもしれません。

回答No.1

statecollege

1/3、1/3、1/3の３つにきっちり3等分できているではないか！

お礼

ご回答ありがとうございます！

1／3では不確かなので、計算すると0.3333‥‥になり直線をきっちり分けることは出来ないと思います。