無理やり、双子のパラドックス。

質問

とある宇宙です。
ここでは相対性理論が通用します。

その宇宙は、膨張も収縮もしていません。

その宇宙は、曲率プラスで丸く閉じています(四次元球における三次元球面になっています)。つまり、真っ直ぐ進むと、もとの位置に戻ってきます。

ここに、別々の宇宙船に乗った双子の兄弟がいます。

どちらも、亜光速で等速直線運動をしています。ただし、四次元的に見れば球面を飛んでいるので直線運動と言えるのはかは、私はわかりません。

ある時点で、兄と弟は、すれ違います。このとき、兄と弟は全く同じ年齢です。

その後、時間が経過すると、兄と弟は、再びすれ違うはずです。それは宇宙を半周するときにすれ違うと思います。

このとき、お互いに相手方の年齢は、自分と比べてどうなっているのでしょうか。

すれ違うとき、兄は弟に無線で、例えば「僕は今、40歳だけど、君は何歳だ？」と聞いたら、どんな返事が来るのでしょうか。

40歳という返事でしょうか。それとも40歳よりも若い年齢という返事がきますか。

回答No.19

veryyoung

回答No.18にいただいたコメントに関してです。

＞・・・「真の向心力」は、その緯度で球を輪切りにした円周の点から地軸におろした垂線の方向に働くのではないでしょうか。・・・

そう考えれば赤道への停留説明は楽ですが、その方向の定義がありません。二次元球面世界では、力は接平面から飛び出せないように思われてなりません。一部に小さなエクボか突起が生じれば接平面が傾斜しますので、宇宙船の近傍でそれが生じて張力が赤道への束縛力になるなど、考えたこともありましたが、そもそもこの球面で向心力を論じるのは不適当かもしれません。次のように考察すると、大円上（赤道上）の周回は、以前質問者がおっしゃった通り、回転では無いのです。

どんな周回軌道でも、係留建屋の前から出た宇宙船は後ろから入ります。係留建屋を周るのだから船体の回転は 360°かというとそうでは無いようです。船にジャイロスコープを搭載し、進行方向にヘサキを向けつつ円軌道を描きます。ジャイロの示す方位は宇宙に対し不動ですから、小さい周回に際し、それは船体に対して 360°回転する筈です。しかし、大円軌道周回の場合、船体に対しジャイロが動く特別な向きが見つかりません。そこで気づくのは、軌道半径が大きくなるにつれ回転角が、350、180、90、やがて大円で 0°になる挙動です。

周回を「回転でなくさせる」から向心力零で大円に止め置けるのか。はたまた回転の向心力を重力が支えるから大円に止め置けるのか。結局「平面と仮定した時の幾何的向心加速度 v^2 / R が、重力による球面化でキャンセルされている」という漠然としたイメージ以上のものを求めることは困難に思えて来ました。

ところで、昨日遅ればせながら「双子のパラドックス」と「閉じた宇宙」でネット検索しました。
「兄が宇宙を直進して一周する時、双子のパラドックスはどうなる？」
http://irobutsu.a.la9.jp/PhysTips/massugutwin.html
では、閉じた一次元の場合を扱っています。結果は普通の双子のパラドックスと同じく旅行した兄が若いです。ただ特殊相対論の範囲で、時空図をまるめるというトリックを使うので、旅行する兄から見た弟の時刻はジャンプし、兄の任意時刻における弟の時刻は示せません。'Twin Paradox', 'Closed Universe','Spherical Universe','Topology' などキーワードとすれば多くの論文がヒットしますが大抵は閲覧有料で内容は見ておりません。それら抄録を総合しますに「湾曲した幾何構造が、慣性系に非対称を発生させることで、旅をする方が若い」という事らしいです。

回答No.18

veryyoung

回答No.17にいただいたコメントに関してです。

＞球面上の北極まわりに描く円が小さいとき、円の半径は北極から円への球面上の垂線(円弧)なら、向心力のベクトルも直線ではなく、円弧として表現されるのですか。

ベクトルは通常、一点の状況を直線矢印で示すものだと思います。当該ベクトルなら球面各点でその接平面内にあり、北の方角を指すように表示されるでしょう。ただそれ以前に、閉じた二次元宇宙の単純概念でしかない球モデルに、そこまでの具体性を求めて大丈夫なのでしょうか。

＞円を大きくしていき、円が赤道(つまり大円)になったとき、円の中心は北極とも言えるし、南極とも言えると思います。そして、円の半径をもっと広げると、北極が中心というよりは、南極が中心と言った方が早いと思います。しかし、そもそもが北極を中心としていました。さらに半径を広げると宇宙船は南極に到達します。以上のそれぞれの場合のときに、力と半径と速度の関係、式が同じになるか、など、整合性はとれますか。

外部３次元から鳥瞰しているので、大円を超えた半径の延長のような事をお考えになるのでしょう。双子の兄の選べる円軌道、その半径の可能性に立ち戻ってみましょう。無数の円軌道候補がありますが、どれも「円周の一点が旅行の起点で共有されています」。これらの円軌道を、ご提示の球に当てはめれば、例えば北極を常に原点とし地軸に様々な角度で切断した断面の円周になります。その周長から半径を定義すれば、それは決して円周長の四分の一を超える事なく、一意に定まります。円周率は、2 以上 π 未満の間で変化しますが、おっしゃるような 2 未満の領域に侵入する困難は免れそうです。

補足

宇宙船が北極を中心に、ある緯度を回るときの様子を三次元ユークリッド空間からみると、「真の向心力」は、その緯度で球を輪切りにした円周の点から地軸におろした垂線の方向に働くのではないでしょうか。ここで、「現実の二次元球面世界」に現れる「現実の向心力」は、真の向心力を球の接線の方向に投射したものではないですか。それでいくと、緯度が0のとき、つまり、赤道では、真の向心力は、現実の向心力として投射されません(方向が垂直なので投射したら大きさがゼロ)。そんな感じですかね。

回答No.17

veryyoung

回答No.16にいただいたコメントに関してです。
＞二次元球面の大円を赤道とします。その赤道の半径は、・・・

北極から赤道までの円弧の長さで良いのではありませんか。球面内部に世界は存在しませんよね。

＞球面上に重力が満ちている場合、ある一点にかかる重力の合力は、三次元的にみれば地球の中心だと思います。しかし、二次元だけを考えると、その点に作用する重力の合力はゼロになると思います。どちらでしょうか。

どちらでしょうかの意味がつかめませんでした。両方正しそうですが。

＞半径を固定すると速度が大きくなれば向心力は大きくなります。これを大円で考えなおすと、その軌道においてあらゆる速度を持つことができますが、速度に応じた向心力はどこからきますか。

あらゆる速度の向心力を大円で受け入れる為のメカニズム、私も疑問を持ちましたが、次のように解決を図っています。大円というのはあらかじめ堅固に定まったものではなく、宇宙船質量自体も含んで決まる筈。質量の移動に伴い近傍が変形するのは必然。宇宙船の相手は宇宙の総質量。僅かな変形で大きな力が得られそう。必要な向心力が得られるよう部分的な周長変化が進むのではなかろうか。定量的に式が示せないのが残念です。

＞宇宙船を赤道に固定しているのは、宇宙船が二次元宇宙船だからではないでしょうか。つまり、宇宙船は二次元にいるしかできなくて、その大円に存在するための力は必要ないのではないでしょうか。

次のステップで考えて見てください。いきなり球表面でなく、まず平面上で周回する様を想像します。横滑りを防ぐには遠心力に一致する向心力を必要とします。向心力なしに周回させる為には、それを肩代わりする力が必要です。周回が直線飛行となるように、前記平面を球面化すれば横滑りは防げます。この球面化の為の表面張力は宇宙の質量による重力です。また先に述べましたように大円軌道は堅固に定まったものでは無く、宇宙船の質量移動によって近傍がゴム膜のように僅かに変形するようなものかと考えます。その変形張力が向心力を肩代わりしているのではないか、と考えます。

補足

球面上の北極まわりに描く円が小さいとき、円の半径は北極から円への球面上の垂線(円弧)なら、向心力のベクトルも直線ではなく、円弧として表現されるのですか。

それと、
円を大きくしていき、円が赤道(つまり大円)になったとき、円の中心は北極とも言えるし、南極とも言えると思います。そして、円の半径をもっと広げると、北極が中心というよりは、南極が中心と言った方が早いと思います。しかし、そもそもが北極を中心としていました。さらに半径を広げると宇宙船は南極に到達します。以上のそれぞれの場合のときに、力と半径と速度の関係、式が同じになるか、など、整合性はとれますか。

回答No.16

veryyoung

回答No.14にいただいたコメントに関してです。
多方面から考えるのは良いですね。複数の方法で同じ解を得るのがパラドクスの妙ですから。

＞宇宙船は、力なくして、慣性で大円を飛ぶ・・・
これに反論はありません。しかし向心加速度的なものを残さないと、兄のみ周回の場合でも、再会時の両者年齢が一致してしまいます。回答No.10 で普通の双子のパラドクスに言及しましたが、半径 R の円運動に焼き直した場合、継続的に v^2 / R の向心加速度が無ければ、兄から見た弟の時計を必要量進められません。R の増大に伴い必要向心加速度は小さくなりますが、零にしてしまえば再会時年齢一致と言う奇抜な解を認めざるを得ません。ですから、その向心力は大円において、宇宙を閉じさせる重力と丁度相殺しているのでは無かろうか、と考えているのです。

＞宇宙の大円を飛ぶ場合、円の中心は自分がいる三次元空間にはなく、四次元の方向・・・
これはちょっと飛躍しすぎではありませんか。円運動ならニ次元におさまるので、閉じた平面である球表面に次元を落としてを考えてみましょう。表面で小さな円運動をすると横滑りの力を支える向心力が必要ですが、大円なら横滑りの力は生じません。重力で球面が形成されているおかげです。ただこの時、宇宙船をこの表面内へ拘束している力は表面張力のようにあくまでも周囲の面内から発せられる重力という事になりませんか。

補足

お聞きしたいことがあります。二次元球面の大円を赤道とします。その赤道の半径は、地球の中心から赤道までの距離ですか。それとも北極から赤道までの円弧の長さですか。

また、球面上に重力が満ちている場合、ある一点にかかる重力の合力は、三次元的にみれば地球の中心だと思います。しかし、二次元だけを考えると、その点に作用する重力の合力はゼロになると思います。どちらでしょうか。

また、平面で考えると、
半径を固定すると速度が大きくなれば向心力は大きくなります。これを大円で考えなおすと、その軌道においてあらゆる速度を持つことができますが、速度に応じた向心力はどこからきますか。宇宙船を赤道に固定しているのは、宇宙船が二次元宇宙船だからではないでしょうか。つまり、宇宙船は二次元にいるしかできなくて、その大円に存在するための力は必要ないのではないでしょうか。

回答No.15

Nakay702

＞兄からみて弟は0.9c+0.9cの速度になるかといったら、そうはなりません。それは特殊相対性理論に反します。
⇒それは「見かけの速度」ですから、特殊相対性理論を持ち出すまでもなく、現実に倍速になるなどとは思いません。（すみません、以下は端折ります。）

しかし、ここまで来ると、半ば哲学の領域に入りかけた観がありますね。ただ、いろいろ楽しませていただきました。そもそも、最初のお尋ねの表題、「無理やり、双子のパラドックス。」に引かれました。これは面白そうだと思いました。この表題と続く文章を見て、ふと頭をよぎったことがありました。数年前にネイチャー誌か何かに出た「宇宙の果ては自分だ」という論題でした。（それ以上のことは頭に残っていませんが。）

ところで、最近はこのように「遊べる」質問のスレが少ないのです。いろいろ申しましたが、そして、それにも関わらず答えが出せずに、ちょっと心苦しいです。ただ、あれこれ「頭の体操」ができました。その意味では、大いに楽しませていただきました。どうも、ありがとうございました。

お礼

ありがとうございました。

回答No.14

veryyoung

回答No.10 にいただいたコメントに関してです。
＞宇宙の大円を運動するとき・・・
「真っ直ぐ進むと、もとの位置に戻ってくる」このループ原因は何でしょう。想定宇宙が閉じている原因は何か。そこに含まれる質量であり重力なのではありませんか。慣性に任せて直進している筈が、いつの間にか重力で曲げられていると考えられませんか。地球を惰性で周回する人工衛星の様に法線加速度は重力加速度で相殺されているが、幾何的には加速されているのだと。。。

＞静止した宇宙をそれぞれが逆方向に飛んでいるとしなくても、兄を静止系として、弟だけを亜光速で飛ばしても、結果は同じですか。・・・
結果は一致しない可能性が高いでしょう。確かに速度というのは相対的ですが、加速度には注意を要します。それは単独に生じる絶対的なものです（全宇宙質量への相互作用の総和から生じるとの説もありますが普通はそう論じません）。観測者がバスに乗ってよろける代わりに車窓の道行く人を転ばせる事はできません。弟にループを描かせる事をもって兄がループを描いたとは言い難いでしょう。各々に対し等価な宇宙構造/重力構造を巡るようループさせなければ、再会年齢の一致は見られないと思われます。回答No.5 図１の例でも A のみ止まって B を観測すれば、 B 時刻は遅れる一方です。付け加えるに回転は絶対的なもので、遠心力あるいはコリオリの力で回転有無は検知できます。地球の自転の代わりに宇宙が回転していると主張すれば様相は一変します。

＞ローレンツ収縮・・・
これは運動方向への一様な収縮ですよね。画像のアスペクト比調整のような。

補足

おっしゃることは、わかるような気はします。

しつこいですが、先般とは別の角度からの考えました(あなたと話がかぶっているかもしれません)。それをもって、もう一度お聞きします。

平坦な空間においての円運動は、重力など円の中心に向かう向心力が必要です。重力がないのに円運動するためには、宇宙船の噴射など、とにかく向心力が必要です。いずれにしても、それは自分がいる世界と同じ次元に円の中心があり、力のベクトルも自分がいる次元の上に沿って乗っています。

一方、質問における宇宙の大円を飛ぶ場合、円の中心は自分がいる三次元空間にはなく、四次元の方向にあります。力のベクトルはどこに向いているのでしょうか。この宇宙が曲がって丸く閉じている原因は局所的な重力の積み重ねによるのかもしれません。しかし、その合力を示すとすると、力のベクトルは四次元の方向に向くのではないでしょうか。そして、三次元だけで考えると、合力は釣り合っていて、重力はゼロだと思います。

で、宇宙船は力によるものではなく幾何学的に三次元球面にピタっと張り付いています。三次元の宇宙船は三次元から剥がれることはできません。だから、三次元に張り付くために力は必要ないと思います。結局、宇宙船は、力なくして、慣性で大円を飛ぶのだと思います。

以上を踏まえても、平坦な空間における円運動と、四次元球における大円を飛ぶ運動を、同等に考えていいのでしょうか。

回答No.13

Nakay702

＞左向きに兄が光速の90%で飛び、弟は右向きに光速の90%で飛んだ場合、兄から弟をみると光速の1.8倍になるということはありません。物体は光速を超えることはありません。
⇒はい、よく存じています。

しかし、よく考えてみてください。私が申したのは、仮に、亜光速で飛び続けている弟を静止していると見立てるなら、（もちろん、兄は亜光速で飛び続けているわけですが）、兄弟を包摂する宇宙空間そのものが、弟の進行方向とは逆の方向に亜光速で動くということでしょう？ そうすると、結果として、弟の進行方向とは逆の方向に亜光速で飛び続けている兄は、自前の分と空間移動の分とを合わせて、亜光速の２倍で動くという現象が生じることが「事実上推定」されるでしょう？

補足

＞自前の分と空間移動の分とを合わせて、亜光速の２倍で動くという現象が生じる

これは、正直、よくわからない部分です。

普通は、宇宙には基準となるような静止したものは存在しないと考えます。最初に立てた兄や弟の亜光速という速度は、とある宇宙を俯瞰したような目で見ている、いわば私が静止系です。それからすると、「宇宙に対して亜光速」といえますが、いざ、宇宙の中にいる兄の立場になると、自分は静止していて、弟が相対的に動いているように考えると思います。

俯瞰して見ている私を宇宙の中に入れこみ、先ほどの「第三者」にすると、私からみて、弟は光速の90%で飛んでいます。兄からみて私は光速の90%で飛んでいます。ならば、兄からみて弟は0.9c+0.9cの速度になるかといったら、そうはなりません。それは特殊相対性理論に反します。私は相対性理論が通用する宇宙と言っています。

ただ、この宇宙は、丸く閉じています。それが、この問題にどう影響するかは、わかりません。また、空間が大局的には曲がっているため厳密には特殊相対性理論だけでは語れない(一般相対性理論も必要)ものだと思います。

回答No.12

Nakay702

質問者からの補足を拝見しました。

≫【兄は（亜光速で飛んでいるのでなく）亜光速の２倍速で飛んでいるということになる】という推定事実を無視しているからです。
＞失礼しました。これはめんどくさかったので亜光速と書きました。亜光速と亜光速を合成したら、それよりは少し速い亜光速になります。ちなみに、2倍にはなりません。兄の速度をVとし、弟の速度を逆方向にVとしても、兄からみて弟の速度は2Vにはなりません。 ニュートンとかアインシュタインの力学では、単純に足し算になりますが、特殊相対性理論では、違います。
⇒そうですか。どうやって確認できますか、などとは言いません。些末なことだからです。ここで大事なことは、上記の、「推定事実を無視している」ことです。それについては、どう考えますか。問題点をすり替えてはいけませんよ。以前、「コメントをつけて欲しい」と申したのはそういうことです。

補足

推定事実とは何ですか。
特殊相対性理論は、多くの検証実験や観測によって正しさが裏付けられています。それと、正しくないという反例が今のところ出ていません。

倍にならないというのは、
例えば、第三者をおいて、その人からみて、左向きに兄が光速の90%で飛び、弟は右向きに光速の90%で飛んだ場合、兄から弟をみると光速の1.8倍になるということはありません。物体は光速を超えることはありません。これは「光速度不変の原理」と「相対性原理」からローレンツ変換が導かれ、そのローレンツ変換から導かれるものです。

特殊相対性理論における速度合成は以下のサイトを参照してください。
https://ja.m.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E9%80%9F%E5%BA%A6%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90%E5%89%87

回答No.11

Nakay702

再度、質問者からの補足を拝見しました。

＞「同じ速度で移動している者同士の間で時間の進み方が異なる」 観測者からみて相対速度を持っている物体の時間は遅れます。 兄弟が同じ方向に同じ速度で進んでいれば、お互いに静止しているのと変わりませんが、この質問では、逆方向に同じ速度で進んでいるのです。兄からみると兄は静止し、弟は亜光速で飛んでいるし、弟からみると弟は静止し、兄は亜光速で飛んでいるということです。
⇒おっしゃることの意味は分かります。（相対性理論に内部矛盾に関するアインシュタインやランジュバンの「双子のパラドックス」の応用編てとこですね。）

しかし、内容について言わせてもらえば、状況設定に無理があると思います。仮に弟が静止しているとするなら、宇宙空間上の動きは相対的に捉えるしかありませんので、【兄は（亜光速で飛んでいるのでなく）亜光速の２倍速で飛んでいるということになる】という推定事実を無視しているからです。

科学上の話ですよね。それなら一般化して考えてみましょう。例えば、AとBとが関わる場面で、「仮にAを～とすると」という条件を設定するとします。そこまではOKです。しかし、その後があります。《それに伴って起こる（つまり連動する）Bの変化》です。それには一切触れずに、いきなり問題を出すとは、おとぎ話くらいでしか認められないことです。ですから、この設問にまともにお答えするなら、冷淡な言い方ですみませんが、《最初の設定に間違いがあるから、回答は出ません》となります。

お礼

補足の訂正です。
ニュートンとかアインシュタインの力学
↓
ガリレオとかニュートンの力学

補足

＞【兄は（亜光速で飛んでいるのでなく）亜光速の２倍速で飛んでいるということになる】という推定事実を無視しているからです。

失礼しました。これはめんどくさかったので亜光速と書きました。亜光速と亜光速を合成したら、それよりは少し速い亜光速になります。ちなみに、2倍にはなりません。兄の速度をVとし、弟の速度を逆方向にVとしても、兄からみて弟の速度は2Vにはなりません。

ニュートンとかアインシュタインの力学では、単純に足し算になりますが、特殊相対性理論では、違います。

回答No.10

veryyoung

回答No.5 へのコメント拝見しました。おっしゃる通り、そのような主旨です。
ちなみに加速度にまつわるテンポの変化 a L / c^2 は、非常に有用です。直線運動で宇宙を往復、地球に戻る普通の双子のパラドクスも容易に解消できます。旅先までの距離を L としましょう。宇宙船にとっての所要時間は ( L / v ) √( 1 - β^2 )、船から見た地球時間経過は　√( 1 - β^2 ) が二重に生じて　( L / v ) ( 1 - β^2 ) です。さて旅先到着時の減速過程下、船にとって地球の時計は急速に進みます。加速度 a で減速するなら静止までの時間は v / a 、進み量は冒頭の式を使って ( a L / c^2 )( v / a )、整理して ( L / v ) ( v /c )^2 、さらに ( L / v ) β^2 と書けます。つまり地球時間の遅れ ( L / v ) β^2 が丁度リセットされる事になります。復路出発時加速では同量が先取りされます。

スカイツリーの高度差を利用した光格子時計実験のテンポ差も等価原理により g h / c^2 と記述されています。なお重力が異なるからと言う誤った解説も散見されますが、正しくは、重力ポテンシャルの差が要因です。変化の無視できる g に高度差 h を乗じています（一定の重力下でも生じる現象です）。

先の私の回答において、見かけ上の慣性運動の要因である回転束縛重力による時間遅れには言及していません。なぜならそれは A、B にとって共通でキャンセルされるからです。後続ご質問として、平坦トーラス宇宙を取り上げていらっしゃいますが、宇宙をそのような形にしている要因は重力でしょう。それを含めて A、B は見かけ上の非加速的運動をしています。平坦仮定から A、B にとって重力寄与は同等と言えそうです。また重力寄与を取り除けば、A、B は加速運動していると言えませんか。幾何モデルを提示できる知識はありませんが。

補足

詳しいご説明、ありがとうございます。難しくて、ついていくのにやっとです(笑)。

以下、違っていたらすみません。
ひとつわからないのは、
円運動するときは、重力なり、ロケットの噴射なりで、円の中心に向かう何かの力(向心力)が存在しますが、宇宙の大円を運動するときは力は必要とせず、慣性だけで飛びます。この2つを同じように考えていいのでしょうか。

また、質問では、この宇宙において、兄と弟は逆方向に飛んでいるということにしていますが、なんだか、宇宙という静止系を無意識に設定していました。しかし、運動というのは相対的ですよね。静止した宇宙をそれぞれが逆方向に飛んでいるとしなくても、兄を静止系として、弟だけを亜光速で飛ばしても、結果は同じですか。

あと、余談ですが、宇宙が兄に対して運動しているとすると、宇宙はローレンツ収縮の影響を受けて(たぶん、兄の近くは縮んで、遠方は縮まないみたいに)、兄からみて宇宙はいびつな形になるのでしょうか。