角の5等分線

質問

∠AOBを5等分する作図法についてです。

ｌ_1、ｌ_2はそれぞれ点A、点Cを中心とする半径ACの円弧です。
線分ADを5等分する点を1, 2 , 3, 4とします。

このとき直線Oa , Ob, Oc , Odが∠AOBを5等分する直線である。

なぜそうなるのかわからないのですが、
どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.12

ramayana

ANo.9です。

（ご質問１）「『角の5等分』を出すには『5乗根』という部分からよく分かりません…。」

（答）

言葉が不正確でした。すみません。

１つの角が与えられたとき、どういう座標が与えられたとみなすのか考えてみましょう。

角の頂点を中心として、円を描きます。もともと平面の座標軸が与えられていないので、円の中心の座標を(0,0)と定めることにしても、一般性を失いません。さらに、円の半径が1だと定めることにし、また、角を構成する２本の直線のうち一方がx軸だと約束することにしても、一般性を失いません。そうすると、この直線と円との交点は、(1, 0)で表されます。そして、角の大きさをθとすると、もう一方の直線と円の交点は、( cos(θ), sin(θ) )で表されます。

したがって、「角が与えられた」というのは、「(0, 0)、(1, 0)、( cos(θ), sin(θ) )の３点が与えられた」とみなすことができるのです。

このように座標を定めたとき、「角を５等分できる」というのは、「( cos(θ/5), sin(θ/5) )、( cos(2θ/5), sin(2θ/5)) 、( cos(3θ/5), sin(3θ/5)) 、( cos(4θ/5), sin(4θ/5))の４点を作図できる」ことと同値です。さらに、これらのうち( cos(θ/5), sin(θ/5))さえ作図できれば、あとの３点は容易に作図できるので、

「角を５等分できる」⇔「( cos(θ/5), sin(θ/5) )を作図できる」

となります。

ここで、突然ですが、座標を複素数で表すことを考えます。実数２つで表現される (a, b)の座標を持つ点は、a+ibという１個の複素数を座標に持つとみなすこともできます。そうすると、

　　実数座標で( 0, 0 )の点＝複素座標で0の点
　　実数座標で(1, 0 )の点＝複素座標で1の点
　　実数座標で( cos(θ), sin(θ) )の点＝複素座標でexp(iθ)の点
　　実数座標で( cos(θ/5), sin(θ/5) )の点＝複素座標でexp(iθ/5)の点

となります。最後の２つは、オイラーの公式を使いました。複素座標で表現すると、「角を５等分できる」というのは、「exp(iθ/5)を作図できる」となります。ここで、

　　exp(iθ/5)がexp(iθ)の５乗根

であることから、角を５等分するためには５乗根をとることが必要、ということになるわけです。

ただ、前の回答で「四則演算と平方根を何回か組み合わせ」と言ったのは実数座標でのことだったのに、「５乗根」と言ったのは複素座標でのことだったので、厳密には論理がつながらないことになります。冒頭で言葉が不正確と言ったのは、この意味です。

（ご質問２）「角の8等分なら作図は可能ということでしょうか？」

（答）
可能です。角を２等分する方法はご存知と思います。２等分された角のそれぞれをまた２等分すれば、４等分ができます。さらに、４等分された角のそれぞれを２等分すれば、８等分ができます。

回答No.11

Quattro99

#8です。
原点を点Oとしたので、点Oのx座標は0なのですが。

回答No.10

alice_44

因みに、Wolfram Alpha にグラフを描かせてみると、
割りとそれっぽい近似になっているようではある。
(π/2 < θ < π の部分が線分に似ていることに注目)
「図学」ってのは、確か、実在の作図用具を使って
低精度の近似作図をする学問ではなかったかと思う。
参考： http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+-+sqrt%283%29*cos%28x%29%2F%28sqrt%283%29-sin%28x%29%29

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>(π/2 < θ < π の部分が線分に似ていることに注目)

こちらのご回答もNo.7の
『AD = 1 - (√3)(cosθ) / ( (√3) + (sinθ) )
となる訳ですが、
この右辺の式が θ の一次関数になっていないと、』
を踏まえてのものだと思うのですが・・・。

>θ の一次関数になっていないと
この部分を少し補足して頂けるとありがたいのですが…。
よろしくお願いします。

>「図学」ってのは、確か、実在の作図用具を使って
>低精度の近似作図をする学問ではなかったかと思う。

図学は数学ではなくて、工学に近い学問なのですね。
あまり厳密さにこだわり過ぎる全然先に進まないということもあり得ますね。
これからはそのあたりのことを踏まえて本を読むことにします。

回答No.9

ramayana

「定規とコンパスで作図する」というのは、与えられた点を出発点として、

　　(1)　直線と直線の交点を得る。
　　(2)　直線と円の交点を得る。
　　(3)　円と円の交点を得る。

を何回か繰り返すことを言います。これらの交点の座標は、与えられた点の座標を係数とする１次方程式または２次方程式の根です。ですから、最初に与えられた点の座標に四則演算と平方根を何回か組み合わせた座標を持つ点しか作図できません。

「角の５等分」というのは、特殊な例をのぞき、どこかで「５乗根」をとるという作業が入ります。四則演算と平方根をどのように組み合わせても５乗根を表すことができないので、角を５等分する作図法は存在しません。

同様な論法で、一般に角のn等分が作図できるのは、nが2のべき乗のときだけです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

前半部分はよく分かったのですが、
「角の5等分」を出すには「5乗根」という部分からよく分かりません…。

2のべき乗が作図可能ということは例えば角の8等分なら作図は可能ということでしょうか？

この辺りの理論は難しいのでしょうか？

回答No.8

Quattro99

ご質問の図の点Oを原点、ACをx軸とするxy座標を考えます。
その図を描いた時に点4がちょうど原点にくるような∠AOBを考えます。
点Aを(2,0)とすると、点2は(1,0)、点Pは(0,-2√3)になります。すると、点bはy=2√3x-2√3上にあることになりますが、もし5等分出来ているなら、点bは(√2,√2)であるはずです。しかし、この点は先の直線上にありません。
従って、5等分出来ているというのは誤りです。

お礼

度々のご回答どうもありがとうございます。

>点Pは(0,-2√3)になります。

点Pのx座標は、点Oのx座標と同じで0にならないような気がするのですが…。
間違ってたらすみません。

回答No.7

alice_44

A (1, 0)
C (-1, 0) となるような座標系をとり、
B (cosθ, sinθ) と置きます。
P (0, -√3)
D ((√3)(cosθ)/((√3)+(sinθ)), 0) になります。

AD = 1 - (√3)(cosθ) / ( (√3) + (sinθ) )
となる訳ですが、
この右辺の式が θ の一次関数になっていないと、
質問の方法では、角を等分できません。

ダメみたいですね。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>この右辺の式が θ の一次関数になっていないと、
>質問の方法では、角を等分できません。

この部分が理解できませんでした…

回答No.6

Quattro99

もしかして、近似的な方法なのではないですか？
どの程度の近似なのか、そもそも近似と言えるのかどうかは私にはわかりませんが。
正確な5等分ではないことは間違いないと思います。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

No.5さんの結果を見ますと、結構よくできた近似みたいです。
教科書に近似と一言書いといてくだされば助かったのですが…。
２ページ目からこんなに苦戦するなんて…。

近似を近似と見抜けるぐらいの力がないとなかなか大学の本は読めないですね…。

回答No.5

Tacosan

いや, 手元で Maxima と Google を使って計算した限りでは, ∠AOB=180° に対する「正確な 5等分」はできていません.
計算を簡単にするため AO = 5 として O(0, 0), A(5, 0), C(-5, 0) と座標を導入します. すると AP = 10, AO = 5 より OP = 5√3 なので P(0, -5√3) です.
ここで a の左隣の点b を求めにいくと, AC 上の点X(1, 0) を通せばいいので直線PX は x/1 - y/(5√3) = 1 と表せます. 一方円そのものは x^2+y^2 = 5^2 ですからこれらの交点は (Maxima によると)
b((5√73+75)/76, (25√219-5√3)/76)
です. これに対し本当の等分点b' は (∠AOb' = 72° = 2π/5 なので)
b'(5 cos 2π/5, 5 sin 2π/5)
となります. この 2つの点の x座標の差を Google で計算すると
(5√73+75)/76 - 5 cos 2π/5 = 0.00386264295
となり, 「b と b' が一致しない」ことが確かめられます.
結果は示しませんが, a も「厳密な等分点」からはわずかにずれています.

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

具体的な値を代入して検証すればよかったのですね。

>(5√73+75)/76 - 5 cos 2π/5 = 0.00386264295
思っていたよりずっと近いです。
コンピューターじゃないと誤差が測れないレベルですね^^;

有用なソフトもご紹介くださり、どうもありがとうございました。

回答No.4

Quattro99

いや、∠AOBが鈍角でも同じことです。
鈍角が5等分出来るのであれば鋭角も5等分出来ます。
角の二等分は可能ですし、2倍にすることも可能ですので、もし、ご質問の図で鈍角の5等分が可能なら、鋭角が与えられたときはその2倍の角を作り（必ず鈍角になります）、それを5等分してさらに2等分すれば与えられた鋭角の5等分が出来ることになります。
そして、それが可能なら、下記で書いたように任意の角の3等分も可能ということになってしまって矛盾します。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

不思議ですね…。

n=3とか8に変えて試してみたのですが、鈍角ならちゃんと等角になっているような気もします…。

何とか証明や反例が分からなければいいのですが・・・。

回答No.3

Quattro99

示された図の作図は可能ですよ。
しかし、それで∠AOBが5等分されているとすると任意の∠AOcが与えられたときそれを3等分することも可能ということになってしまい（線分Pcを作図することはもちろん可能ですし、線分A3を3等分することも作図可能です）、すでに不可能が証明されていることと矛盾するということです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

今調べてましたら、
∠AOBが鋭角の時、点dがBの上にきてしまう場合がありそうです…。

どうやら鈍角限定みたいです…。