三角形の面積を二等分

質問

三角形の周上の与えられた点を通って、
三角形の面積を二等分する直線を引くにはどうしたらいいのですか？

すみませんがよろしくお願いします！！

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

失礼。A No.5 の回答には、
大切な箇所に脱字があった。

(AP/AB)(AQ/AC)=1/2 となる AC 上の点 Q か、
(BP/BA)(BQ/BC)=1/2 となる BC 上の点 Q

…でないとね。

そのような Q は、どちらか一方だけが存在する。
P が、辺 AB 上、
中点よりも A 寄りならば、辺 BC 上の Q が在り、
中点よりも B 寄りならば、辺 AC 上の Q が在る。

式を満たす AQ または BQ の長さは、
「方べきの定理」によって作図できる。

この定理は、中学の教科書に載っているが、
作図問題では、基本的かつ強力な道具だから、
是非知っておくべきだ。

お礼

この点Qというのは
ある位置にしか存在できない点ですよね。

異なる位置に決められていてもこの証明は成立するのでしょうか

回答No.9

178-tall

蛇足ですが、うわさバナシを一つ…。

　#4 の DE は重心を通るらしい。

本題は学童でも解けるそうですが、噂話の検証はチョイと煩雑。

お礼

回答ありがとうございます☆

本当に重心は通るのでしょうか・・・

回答No.8

yyssaa

ANo.4さんの回答に敬意！
分かり易い例として、
鋭角三角形ABCの辺BC上の点D(BD＜BC/2)を通る直線で
△ABCの面積を2等分するには、辺BCの中点を通りADに
平行な直線が辺ACと交わる点をEとすると、線分DEが
求める直線になります。

お礼

yyssaaさん回答してくださりありがとうございました。

おかげさまで問題解答の理解をすることができました

回答No.6

info22_

#3です。

#5さん、指摘有難う。
A#3の重心Gを通る直線GPは面積を二等分するとは言えません。
参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1289088907
従ってA#3は誤りですので、無視してください。
なお、直線の両側の図形の一次モーメントが等しくなるような直線になります。

質問を満たす直線の引き方の解答は次の参考URLの２にそっくり載っていますので
ご覧ください。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/toubun/toubun.htm

A#3は失礼しました。

参考URL：

http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/toubun/toubun.htm

お礼

info22_さん、参考URL付けてくださりありがとうございました。

おかげで理解を深めることができました☆

回答No.5

alice_44

重心を通る直線が面積を二等分するのは、
直線が三角形の頂点を通る場合だけだねえ。

与えられた一点 P が辺 AB 上にあるとして、
(AP/AB)(AQ/AC) となる AC 上の点 Q か、
(BP/BA)(BQ/BC) となる BC 上の点 Q をとって、
直線 PQ を引けばよいね。

お礼

訂正の御回答もして頂きありがとうございます。

回答No.4

178-tall

{A, B, C} を頂点とする三角形 △ABC にて、各頂点の対辺を {a, b, c} とする。
A の対辺 a 上に指定された点 D から直線を引いて、面積を二分したい。さて？ というお題らしい。

a の中点 M から A に引いた直線は、面積を二分するだろう。
AD から M までの高さを h とする。
AD から見て M の向きにある辺上に、AD から h の高さの点 E を指定すれば、DE が面積を二分してくれるのでは？

お礼

回答してくださりありがとうございます。

178-tallさん理解することができました。助かります！

回答No.3

info22_

三角形の周上の与えられた点(Pとする)と
三角形の重心Gを通る直線PGを引けば良いでしょう。

三角形の重心Gは三角形の3本の中線（一点で交わる）の交点です。
なお、中線は１つの頂点と対辺の中点を結ぶ直線（線分）です。
任意の2本の中線の交点として重心Gが作図できます（求められます）。

お礼

info22_さん2回も回答してくださり
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

どう考えて, どこが分からなくなって質問しているのですか?

お礼

分かりづらくてすみません

回答No.1

ferien

＞三角形の周上の与えられた点を通って、
具体的にはどういう点ですか？
それがわからないと、回答のしようがないような気がします。

お礼

決められた定点という意味でした。すみません