2a^3-9a^2-27=0の因数分解の仕方

質問

微分の問題を解いていて、途中の因数分解で？となりました。
2a^3-9a^2-27=0 という数式なのですが…
答えは (a-3)^2(2a-3)=0　
となるのですが、そこまでの過程がわかりません。
即急に教えていただけると嬉しいです。
また、そのような因数分解を解くコツがあれば教えてください。

回答No.5

bgm38489

2a^3-9a^2+27だね。
これは、a^2の項を二つに分けて考える。+27だから、-3a^2+27とすれば、-3(a^2-9)となり、-3(a+3)(a-3)となる。
すると、残りは、2a^3-6a^2。これは、2a^2(a-3)となるわけ。
(a-3)でくくって、(a-3)(2a^2-3a-9)。
更に因数分解すると…てわけ。
つまり、
与式=2a^3-6a^2-3(a^2-9)
=2a(a-3)-3(a-3)(a+3)
　　 =(a-3)(…)
後は、おなじみの因数分解。

回答No.4

ramayana

ANo.3さんとほぼかぶってしまいましたが。

初めから有理数の範囲で因数分解するなら、定数項27の約数を分子にして、最高次の係数2の約数を分母にして、一次因子は　a±1、a±3、a±9、a±27、a±1/2、a±3/2、a±9/2、a±27/2の可能性しかないので、それらで割り切れるかどうか片端から確かめます。、

有理数の範囲という条件がないなら、ニュートン法などで2a^3-9a^2-27=0の根を計算することになります。根をγとすれば、この式はa-γで割り切れます。

回答No.3

asuncion

f(a)=2a^3-9a^2+27とおきます。
定数項27の約数は、符号を含めて考えると±1、±3、±9、±27の8とおりあります。
f(a)に上記8とおりの値を順番に代入していき、f(n)=0となるnが見つかれば、
f(a)は(a-n)という因数を持ちます。言い方を変えれば、f(a)は(a-n)で割り切れます。
今回の場合はn=3のときf(3)=2・27-9・9+27=54-81+27=0ですので、
f(a)は(a-3)という因数を持ちます。
f(a)を(a-3)で割ってみます。f(a)と(a-3)の最高次の項どうしを比べて、
どうやら2a^2が商になりそうだとわかります。
2a^2・(a-3)=2a^3-6a^2
f(a)-(2a^3-6a^2)=-3a^2+27と(a-3)の最高次の項どうしを比べて、
次はどうやら-3aが商になりそうだとわかります。
-3a(a-3)=-3a^2+9a
-3a^2+27-(-3a^2+9a)=-9a+27と(a-3)とを比べると、商が-9でちょうど割り切れることがわかります。
よって、
f(a)=2a^3-9a^2+27=(a-3)(2a^2-3a-9)

g(a)=2a^2-3a-9がさらに因数分解できるかどうかを考えます。
たすきがけの方法をとると、g(a)=(a-3)(2a+3)と因数分解できることがわかります。
∴f(a)=2a^3-9a^2+27=(a-3)(2a^2-3a-9)=(a-3)(a-3)(2a+3)=(a-3)^2・(2a+3)

回答No.2

asuncion

2a^3-9a^2+27=0
という式だったら
(a-3)^2・(2a+3)=0
と因数分解できます。
もう一度見直してみてはどうでしょうか。

補足

符号を打ちまちがえていました
(a-3)^2・(2a+3)=0です
すみません…

回答No.1

noname#152780

(a-3)^2(2a-3)=0を展開しても2a^3-9a^2-27=0にはならないと思います
普通因数分解するときは、aに1や2を代入して数式が0になる数を探し(その数を因数といい、数式に対して「その数を因数にもつ」と言います)、その因数が見つかったら(x-その数)を数式からくくり出して因数分解していきます
つまり2a^3-9a^2-27=0を因数分解すると(a-3)^2(2a-3)=0と言っていますが2a^3-9a^2-27=0のaに3を代入しても0にならない時点で(a-3)^2(2a-3)=0は間違いであることが分かります

肝心な2a^3-9a^2-27=0の因数分解は因数が見つからないのでどう因数分解すればいいか分からないですが、2a^3-9a^2-27=0という数式を導き出したこと自体が間違いだと思います

補足

符号を打ちまちがえていました
正しくは(a-3)^2・(2a+3)=0です