４次方程式の解についての問題

質問

f(x)=x^4-kx^2+4x+k+3で、f(x)=0が異なる４つの実数解をもち、４つの解a,b,c,dをa<b<c<dとする。
a+c+dとacdをそれぞれkを用いて表せ。（慶応理工　今年）

f(x)=(x+1){x^3-x^2+(1-k)x+k+3}だから、1つの解は-1とわかる。
f(x)=0から、k=x^2+1-{4/(x+1)}となり、g(x)=x^2+1-{4/(x+1)}のグラフから、c=-1。
x^3-x^2+(1-k)x+k+3=0の解が、a,b,dとなり解と係数から、
a+b+d=1・・(1)
ab+bd+da=1-k・・・(2)
abd=-k-3・・・(3)
(1)(2)(3)からa+dとadをkの式で表せればよいと思いましたが、できませんでした。
アドバイスをよろしくお願いします。
因みにこのあとに続きの問いがあって、k->∞のとき、bcの値の極限値を求めよ、これは
グラフから考えて、b->-1 だから、1になりました。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

c=-1 としたところがミスだと思います。

b=-1になるはずで、その後は、質問者さんが考えられた、解と係数の関係がそのまま答になります。

普通、こういう小問は誘導になっているはずで、乗ってしまば、結構すんなり次の答が出るはず、そうならないのは、その前で何かミスったか？をチェックするのは、癖にしてた方がいいかもしれません。

b=-1になる、という根拠ですが、私はこんな感じで考えました。

f(x) = (x^4+4x+3) - k(x^2-1) = (x+1)^2 * (x^2-2x+3) - k(x+1)(x-1) なので、
x=-1 は、必ず、f(x)=0 の解

※ kの値によらず、と恒等式みたいな言い方をしているので、そのつもりで、kについて整理する、というのも、定石の一つ

g(x) = x^4+4x+3, h(x) = k(x^2-1) とおくと、g'(x) = 4(x^3+1) なので、y=g(x) は、x<-1で単調減少、x>1で単調増加、
f(x) = 0 の解は、y=g(x)とy=h(x)の交点のx座標だから、２つのグラフの概形を書くと、４つ交点を持つのは、放物線y=h(x)が下に凸で、x<0で、２個、x>0で、２個の交点を持つ場合しか考えられないので、b=-1、という具合です。

お礼

間違いの確認ができました。
b=-1だといいと思いながら、確認をしたつもりなのですが、
この問題の難しいところはここだと勝手に思い込んでしまいました。

回答No.2

info22_

>f(x)=(x+1){x^3-x^2+(1-k)x+k+3}だから、1つの解は-1とわかる。
これは合ってます。

>f(x)=0から、k=x^2+1-{4/(x+1)}となり、g(x)=x^2+1-{4/(x+1)}のグラフから、c=-1。
これは間違い。
実際はb=-1にならないといけません。

>x^3-x^2+(1-k)x+k+3=0の解が、a,b,dとなり解と係数から
この解はa,c,dとなりますので以降駄目です。

g(x)=x^3-x^2+(1-k)x+k+3とおくと
g(x)=0が異なる3つの解を持つことから
g'(x)=3x^2-2x+1-k,D/4=1-3(1-k)=3(k-2/3)>0 ∴k>2/3…(☆) ∴g(-1)=2k>0
g(1)=4>0
g'(x)=0を満たすxは (1/3)(1±√(D/4))=(1±√(3k-2))/3
極大値g((1-√(3k-2))/3)>0(計算すればこうなる)
極小値g((1-√(3k-2))/3)<0(異なる３つの解を持つ条件)から k>9
このときg(x)=0の実数解をx1,x2,x3とおくと
x1<-1,1<x2<2,2<x3 …(△)となるので
f(x)=0の4つの異なる実数解はa<b<c<dであることから
a=x1,b=-1,c=x2,d=x3
となる。

>a+c+dとacdをそれぞれkを用いて表せ。

g(x)=0の異なる３つの実数解は
a=x1,c=x2,d=x3
で解と係数の関係から
a+c+d=1,ac+ad+cd=1-k,acd=-(k+3) (k>9)…(■)

なお(■)から
bc=-c=(k+3)/ad=(k+3)/(1-k-c(a+d))=(k+3)/(1-k-c(1-c))=(1+(3/k))/(-1+(c^2-c+1)/k)
ここで(△)からcは　1<c=x2<2と有限な定数なので
k→∞のとき　bc=-c→1/(-1)=-1
となります。

[注]途中計算は自分でやってみて確認すること。