方程式の問題

質問

程式について、誰か教えてくれませんか？

(1)
X＾4＋4x＾3＋ax＋b=0がx=1＋iを解の１つとしてもつとき、実数a,bの値と他の解の値をもとめる

x=1＋iをX＾4＋4x＾3＋ax＋b=0に代入して整理すると
(a＋b-12)＋(a＋8)i=0
a,bは実数だから、a＋b-12,a＋8も実数である

a＋b-12=0
a＋8=0
a=-8,b=20
x=1＋iよりx-1=i
両辺を平方すると、x＾2-2X＋2=0
よって,x＾4＋4x＾3－8Ｘ＋20はx＾2-2x＋2で割り切れるから
(X＾2-2X＋2)(X＾2＋6X＋10)=0

まではわかるのですが、このあとどのようにするかわかりません

(2)
次の２つの2次方程式が共通解をもつとき、Ｋの値を定め、共通解を求める

x＾2＋kX＋3=0…(1)
X＾2＋3X＋k=0…(2)
(1)-(2)より、（k-3)(x-1)=0
参考書に書いありますが、
（k-3)(x-1)=0になりません。

(3)
連立方程式
x＋y=2 …(1)
X＾2＋5xy＋y＾2=-8　　…(2)

x＋y=a ,xy=bとすると
(1)より　a=2 …(3)
(2)より　(x＋y)＾2＋3xy=-8
a＾2＋3b=-8
(3)よりb=-4
x＋y=2 xy=-4
このあとどのように求めるかわかりません。

回答No.4

nabeyann

(1)は、２次方程式を解の公式使わず解けるよ！
(1+i)^2=1+2i-1=2i
(1+i)^3=2i-2
(1+i)^4=-4
与式=-4+4(2i-2)+a(1+i)+b
　　=-4+8i-8+a+ai+b
=(-12+a+b)+(8+a)i=0
∴a=-8,b=20

x=1＋iより
x-1=i
両辺を平方すると、 x＾2-2X＋2=0
よって,x＾4＋4x＾3－8Ｘ＋24はx＾2-2x＋2で割り切れるから
(X＾2-2X+2)(X＾2＋6X+10)=0
{(x-1)^2+1}{(x+3)^2+1}=0
(x-1-i)(x-1+i){(x+3)-i}{(x+3)+i}=0
(x-1-i)(x-1+i)(x+3-i)(x+3+i)=0

回答No.3

fushigichan

＃１です。

＞（２）で(k-3)x+(3-k)=0
から、どうして
(k-3)(x-1)=0
になるのですか？？

変形していきますね。
(k-3)x+(3-k)=0
(k-3)x-(-3+k)=0←カッコの中をいれかえる。
(k-3)x-(k-3)=0←(k-3)でくくる。
(k-3)(x-1)=0
となるのです。

回答No.2

snowsnowsnow

補足の質問の回答だけですが…

２）で(k-3)x+(3-k)=0 から、どうして
(k-3)(x-1)=0 になるのですか？？

(k-3)x-(-3+k)=0
(k-3)x-(k-3)=0
(k-3)(x-1)=0

後ろの（3-k）を－1でくくって因数分解します。

回答No.1

fushigichan

tati353さん、こんにちは。
＞(1)
X＾4＋4x＾3＋ax＋b=0がx=1＋iを解の１つとしてもつとき、実数a,bの値と他の解の値をもとめる
＞よって,x＾4＋4x＾3－8Ｘ＋20はx＾2-2x＋2で割り切れるから
(X＾2-2X＋2)(X＾2＋6X＋10)=0
まではわかるのですが、このあとどのようにするかわかりません

ここまでは、完璧です！計算ミスもありません。
(x^2-2x+2)(x^2+6x+10)=0は
(x^2-2x+2)=0または、(x^2+6x+10)=0ですから
それぞれの２次方程式を解の公式で解けば終わりです。
x^2-2x+2=0のとき、
x=1±√(1-2)=1±i

x^2+6x+10=0のとき
x=-3±√(3^2-10)=-3±i

よって、他の解は、1-i,3+i,3-iになります。

＞(2)
x＾2＋kX＋3=0…(1)
X＾2＋3X＋k=0…(2)
----------------------(1)-(2)
　　　(k-3)x+(3-k)=0
(k-3)(x-1)=0
よって、k-3=0またはx-1=0
あとは、
k=3のとき、(1)はx^2+3x+3=0
x=-3±√(3^3-12)=3±√3i

x=1のとき、(1)に代入して4+k=0,k=-4

＞(3)
連立方程式
x＋y=2 …(1)
X＾2＋5xy＋y＾2=-8　　…(2)

解と係数の関係はよろしいでしょうか？
x,yが
x+y=a
xy=b
を満たすとき、このx,yは
t^2-at+b=0
という方程式の解になっています。

このことを使えば
x+y=2
xy=-4なので
t^2-2t-4=0
の解になっていることが分かります。
これを解くと、
t=1±√(1+4)=1±√5
よって、
(x,y)=(1+√5,1-√5)(1-√5,1+√5)
と求められます。

とてもいいところまで気付いていると思います。
頑張ってください！！

補足

すいません。
（２）で(k-3)x+(3-k)=0
から、どうして
(k-3)(x-1)=0
になるのですか？？