量子力学について

質問

下記のURLの３ページ目の４番以降がわかりません。どなたか解説よろしくお願いします。
http://www.phys.nagoya-u.ac.jp/entrance/pasttest/2008.pdf

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

７．
　U→∞の極限で
　tan(k) = -k/U
の最初の解はπ　に近くなるので　tan(k)≒k - π　と近似すると

　k≒Uπ/(U+1)

これを前に求めたｋ（数値計算したもの）と比較すると確かにUが大きいとき良い近似であることが分かります。C1=1 として　U=10, 100, 1000 のときの基底状態の波動関数を描くと添付ファイルのようになりました。U→∞の極限で偶関数解エネルギー固有値は奇関数解と同じになり、縮退が起こることが分かります。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ありがとうございました。

回答No.3

grothendieck

6.
　偶関数の固有値は

　tan(ka) = -(h^2 k/mU)

を解いて求められます。a = h^2/m = 1 とおいていろいろなUのときのｋを求めると

U 　 100　 　 10　 　 1　 　 0.1
k　 3.110　 2.862　 2.028　 1.631

となりました。U=10 のときの(0≦x≦1 の領域の）解は添付ファイルのようになります。

お礼

ここまで書いていただくなんて・・・ありがとうございます。

回答No.2

grothendieck

x≠0 のときδ(x)=0 だから区間(0,a)でシュレーディンガー方程式は

　d^2ψ/dx^2 = -k^2 ψ

ψが偶関数のとき　dψ/dx｜-ε = -dψ/dx｜ε
だから境界条件は

　-(h^2/m)ψ'(0) + Uψ(0) = 0
　ψ(a) = 0

C1, C2を定数とすると方程式の解は

　ψ(x) = C1 sin(kx) + C2 cos(kx)

境界条件から
　ψ(a) = C1 sin(ka) + C2 cos(ka) = 0
　-(h^2/m)ψ'(0) + Uψ(0) = -(h^2 k/m)C1 + U C2 = 0
したがって
　tan(ka) = sin(ka)/cos(ka) = -C2/C1 = -(h^2 k/mU)

お礼

本当にありがとうございます。助かります。

回答No.1

grothendieck

あっという間にすばらしい回答の数々が山のように寄せられて心強い限りですね。だから私の回答など不要でしょうが...

4.
　奇関数の場合、すなわちψ(0)=0 のとき、

　δ(x)ψ(x)=δ(x)ψ(0)=0

だからシュレーディンガー方程式の解は1.で求めたものの中で奇関数になるものと同じである。

5.以降は他の方のすばらしい回答があるので不要でしょう

お礼

貴重な回答ありがとうございます。