物理 ラグランジェ方程式

質問

http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/entrance/2012_in/2012physics.pdf

この問題の一番最後の9ページ目の問題が分かりません。
3番までは出来たのですがそれから分かりません。
解答を探しましたが見つからないのでここで質問させてもらいます。
何方か教えて下さい。できれば1番から詳しく教えて下さい。お願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

系のラグラジアンをLaとする。質点１の平面の穴を原点とする質点１の
角度をθとする。重力加速度をgとする。

表記の都合から質点1、２の質量をm,Mに変更。すると
●問１の解
　La=((m+M)/2)(r.)^2+(m/2)r^2(θ.)^2+Mg(l-r)

となる。

ここで(r.)、(θ.)は時間微分を示す。lはエル。

●問２の解

運動方程式は
　(d/dt)(∂La/∂(r.))=∂La/∂r
(d/dt)(∂La/∂(θ.))=∂La/∂θ

を計算すると
　(d/dt)((m+M)(r.))=mr(θ.)^2 - Mg (1)
　(d/dt)(mr^2(θ.))=0 (2)

(2)式を積分すると
　mr^2(θ.)=L (3)
となる。

Lは角運動量を表し、初期状態によって決まる定数（すなわち角運動量は保存される）。

これを(1)式に入れてθ.を消すと
　(m+M)(r..)=(L^2/m)/r^3 - Mg

両辺に(r.)を掛けて時間で積分すると
((m+M)/2)(r.)^2=-(L^2/(2m))/r^2 - (Mg)r+ C

Cは積分定数で(r.),L,r の初期条件で決まる。t=0でr=a,(r.)=Va,L=L
とすれば

C=((m+M)/2)(Va)^2 +(L^2/(2m))/a^2 + (Mg)a
となる。

●問３の解
質点１の動径方向の速度をVr
とすると、上式から

　Vr^2=(L^2/{m(m+M)})(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r)+Va^2 (4)

ただし、簡単のため、２乗の表記としたが、Vrの時は±√をとり、
個別の条件ごとに±の判定が必要となる。

●問４の解
質点１のθ方向の速度はVt=r(θ.)である。初期条件の位置はr=aとし、
Va=0だから(3)式より、maVt=L となる。これら(4)式に代入すると

Vr^2=(m(aVt)^2/(m+M))(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r) (5)
となる。

ここで、Vr=0の条件式から求められるrまでaから移動する。
つまり、このrがVtによる遠心力と重力が釣り合って停止する半径である。

(5)式により、
　0=(m(aVt)^2/(m+M))(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r)
　 =(m(Vt)^2(1/a^2-1/r^2) + (2Mg)(a-r)
=(m(Vt)^2(1-(a/r)^2) + (2Mg)(a-r)
=(m(Vt)^2(r+a)/r^2 - 2Mg (6)

ここで r=a として、r=aで釣り合うVt=V0を求める。
0=(m(V0)^2(a+a)/a^2 - 2Mg
a((2Mg)a-2mV0^2)=0　すなわち、　V0=√{(Mg)a/m}

これを使って(6)式を書き換えると
r=(a/4)[ (Vt/V0)^2+√{(Vt/V0)^4 + 8(Vt/V0)^2} ] (7)

つまり、Vtの値によって決まる位置rに質点１が移動して停止する。

ここで、Vt=V0ならば質点１は　r=aのまま留まる。
Vt>V0ならば(Vt/V0)>1だから

　r>(a/4)[ 1+√{1 + 8} ]=a
となり、半径はaより大きい位置に移動して、釣り合う。

逆にVt<V0ならば(Vt/V0)<1だから

　r<(a/4)[ 1+√{1 + 8} ]=a
となり、半径はaより小さい位置に移動して、釣り合う。

●問５の解

(Vt/V0)^2=Vt^2・(m/((Mg)a))=1^2・(1/(10・1))=0.1
r=(a/4)[ (Vt/V0)^2+√{(Vt/V0)^4 + 8(Vt/V0)^2} ]
=(1/4)[0.1+√{(0.1)^2 + 8・0.1} ]=0.25

すなわち、0.25≦r≦1 (m) となる。

複雑なので計算ミスがあるかも。

お礼

大変助かりました。ありがとうございます。