系のラグラジアンをLaとする。質点１の平面の穴を原点とする質点１の
角度をθとする。重力加速度をgとする。
表記の都合から質点1、２の質量をm,Mに変更。すると
●問１の解
La=((m+M)/2)(r.)^2+(m/2)r^2(θ.)^2+Mg(l-r)
となる。
ここで(r.)、(θ.)は時間微分を示す。lはエル。
●問２の解
運動方程式は
(d/dt)(∂La/∂(r.))=∂La/∂r
(d/dt)(∂La/∂(θ.))=∂La/∂θ
を計算すると
(d/dt)((m+M)(r.))=mr(θ.)^2 - Mg (1)
(d/dt)(mr^2(θ.))=0 (2)
(2)式を積分すると
mr^2(θ.)=L (3)
となる。
Lは角運動量を表し、初期状態によって決まる定数（すなわち角運動量は保存される）。
これを(1)式に入れてθ.を消すと
(m+M)(r..)=(L^2/m)/r^3 - Mg
両辺に(r.)を掛けて時間で積分すると
((m+M)/2)(r.)^2=-(L^2/(2m))/r^2 - (Mg)r+ C
Cは積分定数で(r.),L,r の初期条件で決まる。t=0でr=a,(r.)=Va,L=L
とすれば
C=((m+M)/2)(Va)^2 +(L^2/(2m))/a^2 + (Mg)a
となる。
●問３の解
質点１の動径方向の速度をVr
とすると、上式から
Vr^2=(L^2/{m(m+M)})(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r)+Va^2 (4)
ただし、簡単のため、２乗の表記としたが、Vrの時は±√をとり、
個別の条件ごとに±の判定が必要となる。
●問４の解
質点１のθ方向の速度はVt=r(θ.)である。初期条件の位置はr=aとし、
Va=0だから(3)式より、maVt=L となる。これら(4)式に代入すると
Vr^2=(m(aVt)^2/(m+M))(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r) (5)
となる。
ここで、Vr=0の条件式から求められるrまでaから移動する。
つまり、このrがVtによる遠心力と重力が釣り合って停止する半径である。
(5)式により、
0=(m(aVt)^2/(m+M))(1/a^2-1/r^2) + (2Mg/(m+M))(a-r)
=(m(Vt)^2(1/a^2-1/r^2) + (2Mg)(a-r)
=(m(Vt)^2(1-(a/r)^2) + (2Mg)(a-r)
=(m(Vt)^2(r+a)/r^2 - 2Mg (6)
ここで r=a として、r=aで釣り合うVt=V0を求める。
0=(m(V0)^2(a+a)/a^2 - 2Mg
a((2Mg)a-2mV0^2)=0 すなわち、 V0=√{(Mg)a/m}
これを使って(6)式を書き換えると
r=(a/4)[ (Vt/V0)^2+√{(Vt/V0)^4 + 8(Vt/V0)^2} ] (7)
つまり、Vtの値によって決まる位置rに質点１が移動して停止する。
ここで、Vt=V0ならば質点１は r=aのまま留まる。
Vt>V0ならば(Vt/V0)>1だから
r>(a/4)[ 1+√{1 + 8} ]=a
となり、半径はaより大きい位置に移動して、釣り合う。
逆にVt<V0ならば(Vt/V0)<1だから
r<(a/4)[ 1+√{1 + 8} ]=a
となり、半径はaより小さい位置に移動して、釣り合う。
●問５の解
(Vt/V0)^2=Vt^2・(m/((Mg)a))=1^2・(1/(10・1))=0.1
r=(a/4)[ (Vt/V0)^2+√{(Vt/V0)^4 + 8(Vt/V0)^2} ]
=(1/4)[0.1+√{(0.1)^2 + 8・0.1} ]=0.25
すなわち、0.25≦r≦1 (m) となる。
複雑なので計算ミスがあるかも。
お礼
大変助かりました。ありがとうございます。