二次関数の問題です

質問

xの関数f(x)=a(x^2+2x+2)^2+2a(x^2+2x+2)+bは最小値6をもち。f(0)=11である。このとき。定数a,bの値を求めよ。

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

FT56F001

あれぇ，info22先生の答と違っている。
a=1,b=3と思ったのだけど??

info22先生，
>t=0 ...(4)でg(t)は最小値g(0)=11-9a=6をとる。
って合ってます?
g(0)=11-5a=6になりませんか?

回答No.3

info22_

f(0)=11より
　8a+b=11 ∴b=11-8a ...(1)
であるから

f(x)=a(x^2+2x+2)^2+2a(x^2+2x+2)+11-8a
=a{(x^2+2x+2)+1}^2 -a+11-8a
=a(x^2+2x+3)^2 +11-9a
=a{(x+1)^2+2}^2+11-9a
ここで
t=(x+1)^2(≧0) ...(2)とおくと
f(x)=a(t+2)^2+11-9a=g(t) (t≧0)とおくと
f(x)即ちg(t)が最小値をとる条件は
t≧0より　a＞0 ...(3)
この時 軸 t=-2<0 なので　
t=0 ...(4)でg(t)は最小値g(0)=11-9a=6をとる。
これから　a=5/9 ...(5)
(5)は(3)の条件をl満たしている。
t=0の時　(2)から　x=-1。f(x)の最小値f(-1)=g(0)=6
(5)を(1)に代入して　b=11-8(5/9)=59/9

以上から　a=5/9, b=59/9

回答No.2

FT56F001

二次関数が二段に組み合わさった問題ですね。
[略解]

(1)　t=x^2+2x+2とおく。xが実数全体動く時，tはt≧1の範囲をとる。

(2)　f(x)=a(x^2+2x+2)^2+2a(x^2+2x+2)+bを
tの関数と思ってf=a*t^2+2at+bと書くとtに関する二次関数になっている。
t≧1の範囲でfの最小値が6である。これは区間の端(t=1)か放物線の頂点である。
t=-1が放物線の軸なので，
t≧1の範囲では，
a>0ならfはtの増加に伴って単調増加，
a<0ならfはtの増加に伴って単調減少する。
fに最小値があるからa>0であり，最小値はt=1のときである。
これよりaとbの条件として3a+b=6が決まる。

(3)　f(0)=11よりaとbの条件がもう一つ決まる。

(4)　aとbの連立方程式を解くと，a,bが決まる。ただし，a>0となることを確認。

回答No.1

asuncion

二次関数の問題であると書かれていますが、

＞a(x^2+2x+2)^2

ここを展開すると四次関数になります。
何が正しいのでしょうか。