問題文の意味について

質問

f(x)＝ax^4＋(2a＋b)x^3＋(3b－a)x^2＋2(b－a)xが「すべての整数nに対して、f(n)が整数」を満たすためには「24aと6bが整数である」ことが必要十分であることを示せ

これはつまりどういう意味なのでしょうか？回答お願いします！

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞f(x)＝ax^4＋(2a＋b)x^3＋(3b－a)x^2＋2(b－a)xが「すべての整数nに対して、f(n)が整数」を満たすためには「24aと6bが整数である」ことが必要十分であることを示せ

問題文の意味、ならば、

「すべての整数nに対して、f(n)が整数」ならば「24aと6bが整数である」(必要条件)、
「24aと6bが整数である」ならば「すべての整数nに対して、f(n)が整数」(十分条件)、

の両方を証明せよ、

ということです。

「十分条件」の証明は、簡単だと思います。

「必要条件」の証明は、いきなり、一般的に、だと、難しいので、
f(n)の具体的な値、例えば、f(0)=0は、考えるまでもなく、整数なので、
f(±1)などが、整数になることから(もし、それで、足りなければ、f(±2)なども考えて)、
「24aと6bが整数で」なければならないことを導く、のがいいかと思います。

「24aと6bが整数である」という条件を求めるタイプの問題であれば、
「必要条件」から、条件を求めた後、それが「十分条件」にもなっていることを示す、
これが、定石の手順です。

お礼

詳しくありがとうございます！助かりました！

回答No.3

info22_

f(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b-a) と因数分解できるから
f(n)=n(n+1)(n+2)(an+b-a)=(n-1)n(n+1)(n+2)a+n(n+1)(n+2)b
f(n)が整数になるための条件は

(n-1)n(n+1)(n+2)a が整数、かつ　n(n+1)(n+2)bが整数
であること。

連続４整数の積(n-1)n(n+1)(n+2)は
偶数が２つ含まれかつ４の倍数が１つ含まれるので2^3=8の倍数であり、かつ少なくとも３の倍数が１つ含まれるので３の倍数でもある。つまり8*3=24の倍数である。従って
(n-1)n(n+1)(n+2)aが整数微なるための条件は24aが整数であること。
また連続３整数の積は、偶数が少なくとも１つ含まれ、かつ３の倍数が１つ含まれるから
2*3=６の倍数である。従ってn(n+1)(n+2)bが整数であるための条件が6bが整数であること。

といった意味でしょう。

お礼

詳しい回答ありがとうございます！

回答No.1

noname#161900

f（x）にどのような整数nを代入しても整数の値になるのは、簡単に考えれば、aとbが整数の場合ですよね？

ところが、aとbがすべて整数でなくても、より狭い条件で、24aと6bが整数であればそれで十分みたいです。

それはなぜなのか、というのが本問の意味です。

お礼

なるほど！ありがとうございます！