F(x)は実数を係数とするxの多項式。

質問

F(x)は実数を係数とするxの多項式。
すべての整数kについて、f(k)が整数であるための必要十分条件は、
f(0)が整数で、すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数となる。
このとき、f(x)=ax^2+bx+cについて、すべての整数kについて、f(k)が整数
となるために、係数a,b,cがみたすべき必要十分条件をもとめよ。

次のように考えましたが、最後の詰めができません。
aとbの条件はどうなるのか、よろしく、おねがいします。
f(0)=cより、cは整数。
f(k)-f(k-1)=(2k-1)a+bより、任意のkについて(2k-1)a+bは整数。
これで、k=1のときより、a+bは整数...(1)。
k=2のときより、3a+bは整数...(2)。　
(2)－(1)より、2aは整数。(1)×3-(2)より、2bは整数。
ここで、行き詰まりました。このあとどう処理すれば、a,bの条件をもとめられるか
よろしくおねがいします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞これで、k=1のときより、a+bは整数...(1)。k=2のときより、3a+bは整数...(2)。　

こんな事をするなら、初めから必要条件を求めて、それが十分条件でもある事を示せば良い。

f(0)=cより、cは整数。f(1)=a＋b＋c＝整数からa＋bが整数。f(2)=4a＋2b＋c＝整数から4a＋2bが整数。
mとnを整数として、a＋b＝m、4a＋2b＝nから、2a＝n-2m、2b＝4m-n　であるから、f(k)＝k(k-1)/2*n-(k＾-2k)*m＋cとなり　k(k-1)/2は　整数から十分条件でもある。
従って、c、a＋b、4a＋2b　のいずれもが整数であると良い。

お礼

ありがとうございます。
解答は、c、a＋b、4a＋2b　のいずれもが整数である
ということで、納得しました。

回答No.6

muturajcp

2a,a+b,cは整数とすると
f(0)=cは整数
ある整数kに対して
f(k)=ak^2+bk+cは整数
と仮定すると
f(k+1)=a(k+1)^2+b(k+1)+c=(ak^2+bk+c)+2ak+(a+b)+c
も整数となる
f(k-1)=a(k-1)^2+b(k-1)+c=(ak^2+bk+c)+2a(1-k)-(a+b)+c
も整数となる
すべての整数nに対して
f(n)=an^2+bn+cは整数
で成り立つから
係数a,b,cがみたすべき必要十分条件は
2a,a+b,cが整数

お礼

回答ありがとうございます。
きれいに解答が流れているぶん、
もっていき方が難しいと思いました。
解答の書き方という点で参考になります。

回答No.5

alice_44

どうせなら、
c と a+b と 2a が整数
と書いた方が、見よくね？

お礼

ありがとうございます。
この問題の解答は、ひとつとして、
見やすさというのがあるということですね。
だから、解答をどうするか戸惑ってしまう。

回答No.4

mister_moonlight

指定された解法でも同じ事。

k=1のときより、a+bは整数...(1)。k=2のときより、3a+bは整数...(2)。
mとnを共に整数として　a+b＝m、3a+b＝n とすると、a＝m/2、b＝(3m＋n)/2　であるから、f(k)＝n(k＾2＋k)／2－m(k＾2-3k)/2＋c　となる。
(k＾2＋k)/2と(k＾2-3k)/2は共に整数から、c、a+b、3a+b　が整数であれば　f(k)は整数になるから必要十分条件でもある。

先の回答と見かけの答えは異なるが、同じ事に過ぎない。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
いいところまで進んでいると思いますが。＾＾
もともとの「f(0)が整数で・・・」というのは、帰納法を使って示されることですね。

そして、いまの回答の流れを整理すると、
・(2k-1)a+ b＝ (整数)というのが条件になりました。と

・そして具体的に kの値をあてはめると、2a＝ (整数)、2b＝ (整数)となりました。
でも、言いかえればこの条件は特定の kの値に対するものですね。

・ということは、仮にこの条件で一般の kに対して成り立つことが言えれば・・・

帰納法で示せそうですね。

回答No.1

alice_44

次数について、帰納法。