内積と行列で定まった関数の極値

質問

n≧2の整数、 Aをn次の実対称行列、b∈R^nとします。f:R^n→Rを
f(x) =1/2 <Ax,x> - <b,x> によって定めるとします（<x,y>はR^nの普通の内積を意味するとして）。

このとき z∈R^n で f が極値を持つならば、 Az = b が成り立つことを示したいです。
「　z=(z_1,...,z_n)と表した時に、全てのｉ=1,...,n について、∂f/∂z_i =0 となることから Az=b」という手順で言えるのかなと思ったのですが、すみませんうまくいきませんでした。

方針だけでもいいので教えて下さい。お願いします。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

あなたの手順で素直に計算するだけでうまくいきますよ。

f が z で極値を持つならば、i = 1..nに対して、∂f/∂x_i (z) = 0 が成立します。
<Ax,x> = Σa_jk x_j x_k, <b,x> = Σb_j x_j ですので(ここでA = (a_ij), b = (b_i)とおきました)
∂f/∂x_i (z) を実際に計算すると、

∂f/∂x_i (z)
= 1/2Σa_jk (δ_ij z_k +δ_ik z_j ) -Σb_j δ_ij
= 1/2 (Σa_ik z_k +Σa_ji z_j ) -b_i

Aが対称行列であるので、
= (Σa_ik z_k) -b_i

これが全てのiについて 0 という条件という条件をまとめて書くと、
Az -b = 0

となるわけです。(∂f/∂x_i (z) = 0 という条件は Az -b の第 i 成分が0ということを表しているわけです。)

お礼

ありがとうございます。計算までしていただいて…。リトライしてみます。