単調増加の＞ ≧がよく分かりません

質問

例えば　青チャートIIIC　基本例題９０などで

０＜ｘ＜πのとき、不等式ｘcosx＜sinxが成り立つことを示せ。

という問題でF（ｘ）＝sinx－cosxとおいて　,
｛F（ｘ）の微分｝＝xsinx
ゆえに、０＜ｘ＜πのとき、　｛F（ｘ）の微分｝＞０
よって、F（ｘ）は０≦ｘ≦πで単調に増加する。　　　　←ここでなぜ０＜ｘ＜πで考えてるのに０とπを　このことと、F(0)＝０から　F(x)＞０　　　　　　　　　　　　考慮に入れなければならないのでしょうか
ゆえに０＜ｘ＜πのときｘcosx＜sinxが成り立つ

回答No.3

alice_44

いやいや、何も 0≦x≦π で単調を言わなくても、
0＜x＜π で単調増加を言えば十分ですよ。
そこから、0＜x＜π で F(x)＞lim[x→+0]F(x) が言えます。
F(x) は x=0 で連続な関数ですから、
lim[x→0]F(x)=F(0)=0 となる訳です。
ただ、平均値定理を使うと、一気に
0≦x≦π で単調増加まで言えてしまうので、
上記の前半と後半が一度で済んでしまい
お手軽なのです。それだけのことです。

お礼

こんばんわ
回答ありがとうございました、
大体わかりました

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

F(x)を微分F'(x)を使って積分形式で表すと

F(x) = F(0) + ∫[0からx] F'(x)dx

ですよね。F(x) >0 (0 < x < π)　
が成り立つには

F(0) = 0

∫[0からx] F'(x)dx (0 < x < π)

が成り立てばよいはずですよね。

なので、F(0) の値がひつようなのです。

お礼

∫[0からx] F'(x)dx
は０が含まれないのですね
こう考えるとわかりやすいです

あとF(x)＝sinx－xcosxでした cosxの前のxが抜けておりました
失礼しました

回答No.1

entap

f'(x)はf(x)の変化量を表します。
f'(x)が0<x<πで正ならば、f(x)は0<x<πで(f(0)からはじまってf(π)で終わる区間で)減少しないということです。連続関数であれば、lim[x→π]f(π)でも減少していませんから、F（ｘ）は０≦ｘ≦πで単調に増加するといえます。(当然、0<x<πでも減少していないわけで、今回はこの条件で十分です。)

　さて、f(x)の最低値が負なら、いくらf(x)が減少しないといっても、f(x)が負であることがあるわけですが、f(x)は0<x<πで単調増加関数であるため、f(0)時点でf(x)≧0である確証が取れれば、後は増加する一方だ、ということになります。
　はたして、実際にf(0)=0ですから、f(x)は0<x<πの区間で、0から開始して後は増加し続ける関数だということが分かります。
ですから、0<x<πの時、f(x)>0、変形して、ｘcosx＜sinxが成り立ちます。

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございました
なかなか難しいですね
なんとなく分かってきました