極限

質問

問い：lim[x→0] 1/sinx-1/(x+x^2)

私の回答：
　1/sinx - 1/x + 1/(x+1) ←部分分数分解
＝(x-sinx)/xsinx + 1/(x+1)

ここで、前者の項だけ考える。
x→0のとき　x-sinx →0 xsinx→0 よりロピタルの定理を用いる。

微分して
(1-cosx)/(sinx+xcosx)
もう一度微分して
sinx/(2cosx-xsinx) →0 (x→0)
ロピタルの定理より、前者の項は
(x-sinx)/xsinx　→0

また後者の項は
1/(x+1)→1　(x→0)

よって、
lim[x→0] 1/sinx-1/(x+x^2)＝１

グラフは確認済みなので、答えは合っています。
導き方はこれでよいのでしょうか。
極限を前者と後者のように分けて考えても、大丈夫ですか？
１度に　x→0　を考えていれば問題ないと思うのですが、自信がありません。

回答No.1

proto · ベストアンサー

f(x)とg(x)が共に収束して、それぞれの極限がlim[x→0]{f(x)}=F,lim[x→0]{g(x)}=Gであるとき
　　lim[x→0]{f(x)+g(x)} = lim[x→0]{f(x)}+lim[x→0]{g(x)} = F+G
となることが証明できます。
ですから前後の項が収束することが確かめられたのなら、それらを分けて極限を考えても構いません。

お礼

早い回答をありがとうございます!!
解決しました。

回答No.2

info22

>導き方はこれでよいのでしょうか。
いいでしょう。

>極限を前者と後者のように分けて考えても、大丈夫ですか？
大丈夫です。

>１度に　x→0　を考えていれば問題ないと思うのですが、自信がありません。
問題ないですよ。

もの問題は
∞-∞型なので
(∞-∞)＋f(x)として
前半および後半共に収束すれば、正しい収束値の求め方といえます。

なお、大雑把には sin(x)≒x（|x|<<1)なので
1/sin(1)-1/x(x+1))
≒(1/x)-(1/x)+1/(x+1)≒1/(x+1)→１（x->0)
と収束値の予測ができますね。

お礼

細かい回答をありがとうございます。

予測ができるのですね!!
私もそのような柔軟な考え方を身につけたいです。