方程式の解の個数

質問

方程式 z^6 - 5z^4 + 2z - 1 = 0 の解は, a～g の範囲にいくつあるかという問題です。
ルーシェの定理の応用だと考えたのですが、それでは解けないみたいなので、どうか解き方を教えてください。
a |z| ＜ 1
b |z| = 1
c 1 ＜ |z| ＜ 2
d |z| = 2
e 2 ＜ |z| ＜ 3
f |z| = 3
g 3 ＜ |z|

回答No.1

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F(z)=z^6 -5z^4 +2z-1, G(z)=- 5z^4 +2zとおくと
F(z)-G(z)=z^6-1
G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個

|z|=1のとき
|F(z)-G(z)|=|z^6-1|≦2(等号z=-1の時)
|G(z)|=|z|*|-5z^3+2|=|-5z^3+2|≧3(等号z=1の時)
|F(z)-G(z)|<|G(z)|
ルーシェの定理より|z|=1の内部|z|<1におけるF(z)=0とG(z)=0の解の個数は一致する。
G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個なので|z|<1におけるF(z)=0の解の個数は4個。
aの答えは4個。

|z|=2のとき
|F(z)-G(z)|=|z^6-1|≦|-2^6-1|=65(等号z=-2の時)
|G(z)|=|z|*|-5z^3+2|=2|-5z^3+2|≧2|-5*2^3+2|=2*38=72(等号z=2の時)
|F(z)-G(z)|<|G(z)|
ルーシェの定理より|z|=2の内部|z|<2におけるF(z)=0とG(z)=0の解の個数は一致する。
G(z)=-5z(z^3-(2/5))=0の解の個数は4個であり、かつ|z|<1におけるF(z)=0の解の個数は4個であるから、1≦|z|<2におけるF(z)=0の解は4-4=0個。
従って
b,cの答えは0個

また
F(z)=0の解は６次方程式なので解の個数は全部で6個。
その内、|z|<1に４個存在し1≦|z|<2には存在しない。
残りの6-4=2個は|z|≧2の解です。

ここで
F(0)=-1<0,F(-3)=317>0,F(3)=329>0
F(-2)=-21<0,F(2)=-13
であるから
F(-3)F(-2)<0,F(2)F(3)<0　より
2<|z|<3にF(z)=0の２実解が存在する。
従って残りのF(z)=0の解は6-4-2=0個（存在しない）
このことから
d,f,gの答えは0個、eの答えは２個
と分かる。

お礼

よく理解できました。ありがとうございました。