z^n - 1 の因数分解と留数

質問

z^n - 1 を一次式の積に因数分解して, 1/(z^n - 1) の 1 における留数を求めよという問題で疑問があります。
1/(z^n - 1) = 1/(z - 1){z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}
上のように因数分解できるので, 1 における留数は 1/n だと思うのですが, z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 は一次式の積に分解できますか。
また, z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 = (z - z_1) ・・・ {z - z_(n - 1)} と分解すれば、留数が簡単に求まるんでしょうか。 かえって面倒になりませんか。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

留数の求め方は貴方のやり方でよく、
残りの n-1 次式を因数分解しても、
z=1 での留数を求める役には立ちません。

一次式の積に分解することは可能で、
zのn乗=1 ⇔ z=eの(2πik/n)乗, kは整数
より、因数定理を使って分解すればよいです。
部分分数分解が完了すると、各極での留数が
分子に並ぶことになります。

お礼

よく理解できました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

1/(z^n - 1) = 1/(z - 1){z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}
=a0/(z-1) +a1/(z-b1) +a2/(z-b2) + ... + a_(n-1)/(z-b_(n-1))
b_k=e^(2πik/n) (k=1,2, ... ,n-1)

>z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 は一次式の積に分解できますか。
求まるかは別にして分解できます。

>1 における留数は 1/n だと思うのです
その通り。

a=Res(1)=lim(z→1)1/{z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}=1/n

お礼

a_0 = 1/n が 1 における留数で, a_i が 極 b_i における留数になっているのですね。
数式でわかりやすく説明してくださって、ありがとうございました。