因数分解

質問

q3ー５q2ー３６＝０
の因数分解の仕方がわかりません。
ｑの後の半角の数は乗数です。
因数分解すると　(ｑ－６)(ｑ2＋ｑ＋６)＝０　になるみたいです。

この途中式を教えてください。

回答No.3

cyototu

この式が因数分解できる場合には、必ず
(q+a)(q^2 +bq +c)
という形をしています。ただし、a,b,cは未知な定数です。
これがq3ー５q2ー３６の式と等しいので、(q+a)(q^2 +bq +c) を展開して、
（１）　ac =-36
（２）　a+b=-5
（３）　ab+c=0
となります。（３）のcを（１）に代入すると、
（４）　a^2 b =36
になります。次に（２）をaについて解き、それを（４）に代入すると
（５）　b^3 +10b^2 +25b-36=0
となります。この式をじっと眺めてみると、b＝１の時に（５）の両辺がゼロになっていることが判ります。そこで、それを（２）に代入すると、a=-6になり、（１）より、c＝６がでます。それらは実際、（３）も満たしています。故に
a=-6, b=1, c=6
が答えになっているので、
q3ー５q2ー３６＝(ｑ－６)(ｑ2＋ｑ＋６)
が導かれます。

このやり方では運良く（５）を眺めているだけでb＝１が分かったから解けました。一般にはこんなに巧くは行かないでしょう。

回答No.2

LTCM1998

エレガントではありませんが、無理やり解くことはできますね。
ヒントは、
q^3－5q^2－36
⇔q^3－6q^2＋q^2－36
と、邪魔そうな5q^2を「こんな形だったらいいな」という形の項2つに分割してしまうことです。
ここまでくれば、あとは「共通因数でくくる」のと「和と差の積」で突き進めばOKです。

本来はNo.1の方が回答していらっしゃるように、剰余定理を使って係数を出してゆくのですが、困ったときはこんな力技でも解けます。

お礼

なるほど！ありがとうございます。
項を２つに分割する考え方は全く思いつきませんでした。
こんな解き方があるとは知りませんでした。

回答No.1

chiropy

因数を見つける際には
最高次の係数をa,定数項をbとするならば
　±(bの約数)／(aの約数)
を調べてやればいいです。

この場合だと
　±(1,2,3,4,6,9,13,18,36)/(1)
これらを順に代入していくとq=6とした時に左辺が0となることから
この方程式は(q-6)を因数に持つことがわかり
あとは割り算してやればいいです。

お礼

ありがとうございます。
まず、この方法でやってみます！