正四面体の内接球について

質問

一辺の長さが2の正四面体の内接球の半径の求め方を教えてください お願いします

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞一辺の長さが2の正四面体の内接球の半径
正四面体をＡ－ＢＣＤとします。内接球の半径はｒとします。
正四面体の体積を２つの方法で求めます。

１つ目：体積は、底面を１辺２の正三角形，高さをｒとした三角錐４個分なので、
正三角形の面積＝（１／２）×２×ルート３＝ルート３（正三角形の高さ＝ルート３）
体積は＝４×（１／３）×正三角形の面積×高さ
　　　＝４×（１／３）×ルート３×ｒ＝（４ルート３／３）ｒ　…（１）

２つ目：Ａから△ＢＣＤに垂線をおろし交点をＨとすると、ＡＨは正四面体の高さ
正三角形ＢＣＤで、ＢからＣＤに垂線をおろし交点をＭとすると、
ＢＭは正三角形の高さだから、ＢＭ＝ルート３
ＨはＢＭ上にあり、△ＢＣＤの重心でもあるから、ＢＨ：ＨＭ＝２：１
より、ＢＨ＝２ルート３／２
△ＡＢＨで、角ＡＨＢ＝９０度より直角三角形で、ＡＢ＝２だから、
ＡＨ^2＝ＡＢ^2－ＢＨ^2＝２^2－（２ルート３／２）^2
　　　＝８／３　より、ＡＨ＝２ルート２／ルート３
体積＝（１／３）×正三角形ＢＣＤの面積×ＡＨ
　　＝（１／３）×ルート３×（２ルート２／ルート３）
　　＝２ルート２／３

（１）より、（４ルート３／３）ｒ＝２ルート２／３だから、
ｒ＝ルート６／６

正四面体Ａ－ＢＣＤの図を描いて考えてみて下さい。

お礼

ありがとうございます！
ＡＨはアドバイスのおかげで自分でやってみても導けたのですが、
＞体積は、底面を１辺２の正三角形，高さをｒとした三角錐４個分
がどうしてこうなるのか分からなく詰んでいます…三角錐を4個作るなら底面も4分割しなくてはいけないと思うのです
なぜこうなるのでしょうか？

回答No.7

ferien

ANo.6です。

＞内接球の中心をＯとすると、ＡＯ：ＯＨ＝３：１という関係になっています。
＞↑これはなぜですか？
外接球の中心の性質など図形の性質を使って計算して得られた結果です。

実際に図を使って、ＡＯ：ＯＨ＝３：１になるか確かめてみます。
正四面体Ａ－ＢＣＤから外接球の半径を求めます。
正四面体は、外接球の中心と内接球の中心は一致するので、外接球の中心もＯです。
外接球の半径は、各頂点からＯまでの長さで、ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯになります。

直角三角形ＡＨＢについて考えます。（ＡＨを求めたときの図と同じものです。）
ＡＨ上に外接球の中心Ｏを取ります。（適当な位置でいいです。）
ＡＯ＝ＢＯ＝Ｒとおきます。ＯＨ＝ｒ（内接球の半径）とおきます。
直角三角形ＯＨＢを考えます。
ＢＯ^2＝ＢＨ^2＋ＯＨ^2より、
Ｒ^2＝（２ルート３／３）^2＋ｒ^2　ｒ＝ルート６／６だったので、
　　＝４／３＋１／６
　　＝３／２　　　　
よって、Ｒ＝ルート６／２
ＡＯ＝ルート６／２，ＯＨ＝ルート６／６なので、
ＡＯ：ＯＨ＝ルート６／２：ルート６／６＝３：１　です。

正四面体の１辺の長さが変わっても、この関係は変わりません。
どうでしょうか？計算してみて下さい。

お礼

なるほど ありがとうございます！

回答No.6

ferien

ANo.6です。（？）

＞どの点を頂点に考えても全体の形は変わらないので、三角錐Ｏ－ＢＣＤと得られる結果は同じです。

今、Ａを頂点として図を見ていると思いますが、図の頂点をＢに変えても、全体の形は変わらないので、他の点も入れ替えることができます。得られる三角錐（Ｏ－ＡＣＤ）は三角錐Ｏ－ＢＣＤと同じ図を表しているはずです。
どうしても分からなければ、同じ図の頂点を入れ替えて考えてみて下さい。

お礼

分かりました ありがとうございます！

補足

内接球の中心をＯとすると、ＡＯ：ＯＨ＝３：１という関係になっています。
↑これはなぜですか？

回答No.5

ferien

ANo.4です。

＞Oを中心に4つに分解すると全て同じ形の三角形になるのですか？
なります。
どの点を頂点に考えても全体の形は変わらないので、三角錐Ｏ－ＢＣＤと得られる結果は同じです。

お礼

頭悪いので質問ばかりですみません…それはなぜですか？

回答No.4

ferien

ANo.3です。

内接球の中心がどこにあるのか分かりますか？

内接球の中心は、頂点からおろした垂線（例えばＡＨ）上にあります。
（正四面体では、内接球の中心と外接球の中心は一致します。）
ＡＨで考えると、
内接球の中心をＯとすると、ＡＯ：ＯＨ＝３：１という関係になっています。
ＡＨ＝外接球の半径＋内接球の半径で、ＡＯの長さが外接球の半径、ＯＨの長さが内接球の半径です。
だから、実はこのことを知っていれば、体積を求めるようなことはしなくても、
内接球の半径を求めることができます。
外接球の半径＝ＡＯ＝（３／４）×ＡＨ
内接球の半径＝ＯＨ＝（１／４）×ＡＨ　です。

図で言えば、底面△ＢＣＤに対しては、ＯＨが高さ（内接球の半径）に当たるので、
まず、三角錐Ｏ－ＢＣＤの形を考えてみて下さい。（他の面についても同じです。）
それから、内接球の中心で４つくっついた形を考えてみればいいと思います。

どうでしょうか？

お礼

三角錐O-BCDと残りの3個で分解するなんて全く思いつきませんでした…
質問ばかりですみませんがOを中心に4つに分解すると全て同じ形の三角形になるのですか？

回答No.3

ferien

ANo.1です。

＞＞体積は、底面を１辺２の正三角形，高さをｒとした三角錐４個分
がどうしてこうなるのか分からなく詰んでいます
…三角錐を4個作るなら底面も4分割しなくてはいけないと思うのです
＞なぜこうなるのでしょうか？
底面は、正四面体の正三角形４面のことです。だから４つの三角錐ができます。
内接球の中心に、三角錐の４つの頂点を集めてくっつけた形をしています。

イメージできますか？

お礼

すみません…全くイメージできません

回答No.2

ferien

済みません。訂正です。
＞ＢＨ＝２ルート３／３　です。

＞△ＡＢＨで、角ＡＨＢ＝９０度より直角三角形で、ＡＢ＝２だから、
＞ＡＨ^2＝ＡＢ^2－ＢＨ^2＝２^2－（２ルート３／３）^2
＞　　＝８／３　

になります。他に何かあったら質問して下さい。

お礼

了解です
No.1にも書いたとおり
体積は、底面を１辺２の正三角形，高さをｒとした三角錐４個分
になる理由を教えてください