正四面体の内接球、外接球

質問

正四面体の内接球に関して、正四面体の頂点から内接球の中心を通る
直線を引きそれを延長した場合、底面と直交するということがどうしてなのかわかりません
また内接球と外接球の中心が一致するというのも理解できません
ご教授お願いいたします

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

説明すると長くなりそうなので考える手がかりだけを説明します。

正四面体ABCDの内接球の中心とはどのような点でしょうか。
それは四つの面すべてから等距離にある点です。
四つの面から等距離にある点とはどのような点なのか、いきなり考えるのは難しいので二つの面から等距離にある点の集合を考えてみるとよいでしょう。
平面図形での二直線から等しい距離にある点の集合がどのような点であるかというのがヒントになりそうです。
得られた点の集合についてよくよく考えてみると、それはまた別の意味を持つ面であることがわかります。じつはそれが外接球の中心と密接にかかわることになる点の集合となります。
図形の対称性を念頭に入れておけば気づけるのではないでしょうか。

外接球の中心についても同様に考えてみればよいでしょう。
2点から等距離にある点の集合とはどのようなものなのか、平面での事例を元に考えてみればよいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます
熟考してみます

回答No.1

vollgins

おそらく、これは高校数学レベルの質問と解釈しますが、

チェバ・メラネウスの定理で証明されているので参考にしてください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%90%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

ご回答ありがとうございます
そういえばメネラウスは三点一直線上での証明に使えた気がします
デザルグの定理を前に証明したときに使った記憶が…
トライしてみます