数学の質問です

質問

一辺が10センチの正八面体の木片の内接球の直径を求めよという問題です。答えは5√2/3で、それはわかるのですが、私のやり方だと答えが変わってしまう理由を教えていただけると幸いです。

まず、本来なら正四面体の真ん中(？)正方形の部分の一辺の真ん中(この場合だと5センチ)のところに点を取り、正四面体を切断して、その切断面の三角形が底辺が10センチ、残り2辺が5√3センチで、あとは三平方の定理などで内接球の半径を求め、それを二倍すると直径になりますよね。

私は、正四面体の真ん中の四角を斜めに切り、底辺10√2、残り２辺が10センチ、高さが5√2の三角形として計算しました。そうすると、内接球の半径は5センチになってしまい、直径は10センチになってしまいます。

なんかおかしい気がするのはわかっているのですが、どうも納得ができません。三角形の辺に球体を接しないということですか…？こういった立体を始めとして、空間把握が非常に不得手な人間なので、なぜ正四面体の真ん中の四角を斜めに切ると、内接球の半径がきちんと出ないのか、理解できません。ご教授くださると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞私は、正四面体の真ん中の四角を斜めに切り、底辺10√2、残り２辺が10センチ、高さが5√2の三角形として計算しました。そうすると、内接球の半径は5センチになってしまい、直径は10センチになってしまいます。

　この求め方だと図の辺（ＡＢやＡＣなど）に接する円になります。そのような円（辺と点を共有する円）は膨らんでいますから，面である△ＡＢＣから飛び出してしまいますね。答と合わない原因はそこです。
　１つのボールを用意し，それが余裕をもって入る四角い箱にボールを入れて一つの頂点が下になる様にして観察してみて下さい。辺（２つの面が出会うところ）にボールは触れないはずです。

回答No.1

asuncion

＞正四面体の真ん中の四角を斜めに切り

正四面体？どこにありますか？
斜めって、どういう角度のことですか？

補足

失礼しました。
書き間違えました、正四面体ではなく、正方形(ピラミッドの底面ですね)

ちなみに答えも書き間違えておりました、10√2／３でした。申し訳ありません。