内接球と正多角錐

質問

高校一年のものす。授業で扱った問題で、気になった点があったので質問させていただきます。

「円錐の表面積・体積とその円錐に内接する球の表面積・体積を求めよ。」という意の問題があり、答えは覚えていないのですが...

「内接球の体積：内接球の表面積＝円錐の体積：円錐の表面積」

とにかくその問題の答えから、↑のような結果が生まれました。更に正４面体でも同じ結果(球の体積：表面積の比率と同じという結果)がでてきました。
　そこで思ったのですが、

「内接球の体積：内接球の表面積＝その内接球を持つ正n角錐の体積：その内接球を持つ正n角錐の表面積」

みたいな法則ってあるのでしょうか。
　ちょとした興味で得た疑問で、まだ三角比を学んだ辺りなので、難しいことはよくわかりません。簡単に教えてください。また、この質問にある式自体assyuburannkaの勘違いだという場合もお知らせください。

　　　　　　　よろしく御願い致します。

回答No.5

nakaizu · ベストアンサー

そのとおりです。この性質は実は内接球がある全ての多面体について成立します。
証明も簡単です。
多面体の各面の面積を(n面あるとします)をS1、S2、S3、…、Snとします。
内接球の中心をOとします。また内接球の半径をrとします。
Oから各面、たとえばS1の頂点に線を引くと多角錐ができます。
各面は内接球に接しているので高さはrとなり、この多角錐の体積は1/3 rS1 です。
このような多角錐すべてをあわせると多面体となりますから、多面体の体積は
1/3 r(S1+S2+…+Sn)
となります。
つまり、多面体の体積と表面積の比は
1/3r:1
となり、これは内接球の体積と表面積の比と同じです。

お礼

なるほど！確かにそうなる気がします。
とても分かりやすい・・・ありがとうございました。

回答No.4

tarame

他の方々がお答えの通り、確かに成り立ちます！！
こんな関係が成り立つなんて、私も初めて知りました。

こんな感じの証明でどうでしょうか？
図があれば説明しやすいのですが、何とか読み取ってください。
高校１年生にもわかるようにしたつもりです。

【証明】
正ｎ角錐の体積を V、表面積を S、頂点をＰとする。
底面の中心をＯ、１辺をABとし、三角錐Ｚ(P-OAB)を考える。
ABの中点をＭとし、OM＝m，OP＝h，MP＝L とする。

Ｚの体積は V/n＝(1/3)×△OAB×h
Ｚの側面積の一部(△OAB＋△PAB)は S/n＝△OAB＋△OAB(L/m)　より
V：S＝V/n：S/n＝h/3：(1＋L/m)
ここで、内接球の半径をｒとすると
　（Ｚの側面図…半円が接している三角形をイメージして）
三角形の相似比により
L：h：m＝(h-r)：(L-m)：r だから　L/m＝(h-r)/r
V：S＝h/3：(1＋L/m)＝h/3：h/r＝r：3

お礼

ありがとうございます、大変参考になりました。式を見ただけでは理解しにくいので、じっくり図を描きながら考えてみたいと思います。

回答No.3

ojisan7

No.1です。
正三角錐の場合も成り立つことが分かりました。同じようにすれば、ｎが奇数の場合も成り立つことが証明できます。

結局、証明の手続きをまとめると、
ｎが偶数の場合は、正四角錐と同じ手法で証明できますし、ｎが奇数の場合は、正三角錐と同じ手法で証明できます。（わたしが、使った定理は、ピタゴラスの定理だけです。難しい定理は一切使いませんでした。したがって、中学生にも証明できると思います。）

したがって、ｎが全ての整数の場合（n>=3)について、
「内接球の体積：内接球の表面積＝その内接球を持つ正n角錐の体積：その内接球を持つ正n角錐の表面積」
が成り立つことが分かりました。

お礼

なんと、ピタゴラスの定理だけで・・・。最も、今の時点で、私はその定理ぐらいしか知りませんが・・・。

とりあず、正三角錐と正四角錐の証明を考えてみたいと思います。この二つが証明できても、どうやって全ての正多角錐に繋がっていくのか私には見当もつきませんけど。

成り立つことの確認をしていただき、ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

No.1です。
正n角錐について、ｎが偶数の場合は、証明できました。ｎが奇数の場合は、どなたか証明していただけないでしょうか。

わたしの、「任意のｎ角錐について、成り立ちそうだ」という予想の確信度は９９．９９パーセントに上がりました。

お礼

少なくとも、偶数のn角錐では成り立つのですね？御手数をかけていただき、ありがとうございます。
　このことは、一般的には言われていないことなのでしょうか？自分の数学担任の先生は、未だこれを証明した本に出会っていない。興味があるなら調べてみなさい。・・・と言っていましたが。
　調べたくても、何をどうしていいのやら・・・。

回答No.1

ojisan7

たいへん、勉強になりました。

「内接球の体積：内接球の表面積＝円錐の体積：円錐の表面積」

は、実際、計算してみると確かに成り立ちます。いままで、この性質を知らなかったことが恥ずかしい限りです。

正三角錐では少し、難しそうですので、正四角錐に内接する球で計算してみると、成り立っていました。

一般的に、
「内接球の体積：内接球の表面積＝その内接球を持つ正n角錐の体積：その内接球を持つ正n角錐の表面積」

も成り立ちそうな気がしてきました。しかし、証明は難しそうなので、あきらめました。どなたか、根気のある方は是非、挑戦してみて下さい。

わたしの予想では、ほぼ、間違いなく（９９％？ぐらいの確信を持っていますが・・・）成り立つと思います。