内接する五角形

質問

半径１０センチの円に内接する五角形の一辺の長さが解らなくて悩んでます。教えてください。

回答No.4

debut

Ｎｏ２です。
申し訳ないでした。。

Ｎｏ３の方の解法を参考にしてください。

ちょっと、思いついたので一応書いておきます。
黄金比というのは知ってますか？
Ｎｏ３の方が導かれた（３）の式です。
ＡＢ：ＢＥ＝１：(１＋√５)/２。
(Ｎｏ３の方の設定Ａ，Ｂ・・をそのまま使いますが）
ＡからＯ の直線をそのままのばして、円と交わる点をＭと
すれば、△ＢＯ Ｍは∠ＢＯ Ｍ＝108°でＢＯ ＝ＭＯ という
ことから、△ＡＢＥとは相似の関係になります。
よって、さっきの黄金比から
Ｏ Ｂ：ＢＭ＝１：(１＋√５)/２
Ｏ Ｂ＝10なので、ＢＭ＝５(１＋√５)となります。
一方、△ＡＢＭは∠ＡＢＭ＝90°(直径の弧に対する円周角)
で、ＡＭ＝20、ＢＭ＝５(１＋√５)なので、三平方の定理から
ＡＢ^2＝20^2－{5(1+√5)}^2
　　　＝400-25(6+2√5)
　　　＝250-50√5
　　　＝25(10-2√5)
∴ＡＢ＝５√(10-2√5)　となります。

もし、sin36°というのがわかれば単純に、ＡＢ＝(10sin36°)×２
なのですが・・・（円の中心Ｏ からＡＢに垂線Ｏ Ｎを引けば、
△ＡＯ ＮがＡＯ ＝10、∠ＡＯ Ｎ＝36°なので。）

お礼

わざわざありがとうございました。

回答No.3

noname#47894

余弦定理が分からないとなると、サイン・コサインの類もダメですよね？
複素数でやるやり方もありますが、たぶん、それもダメですよね．．．
（五次方程式の解に帰着できるのですが）

正五角形の頂点をＡＢＣＤＥとし、ＡＣとＢＥの交点をＦとおくと、
ＥＡ＝ＥＦ（ΔＥＡＦが二等辺三角形）
ＢＦ＝ＡＦ（ΔＢＡＦも二等辺三角形）

また、ΔＢＡＦ∽ΔＢＥＡより
ＢＡ：ＢＥ＝ＢＦ：ＢＡ
よって、ＢＡ^2＝ＢＥ・ＢＦ　（１）
ここで、
ＢＥ・ＢＦ＝ＢＥ・（ＢＥ－ＥＦ）＝ＢＥ・（ＢＥ－ＡＥ）＝ＢＥ・（ＢＥ－ＡＢ）　（２）

（１）（２）より
ＢＡ^2＝ＢＥ・（ＢＥ－ＡＢ）
よって、ＢＥ＝｛（√５＋１）／２｝・ＡＢ　（３）

ＢＥとＯＡ（Ｏは円の中心）の交点をＨとします。
ＢＨ＝ＢＥ/2
三平方の定理より、
ＡＨ^2＝ＡＢ^2－ＢＨ^2＝ＡＢ^2－｛（√５＋１）／４｝^2・ＡＢ^2
ＡＨ＝｛√（１０－２√５）｝／４｝・ＡＢ　（４）

ＯＨ＝１０－ＡＨ
ＯＨ^2＋ＢＨ^2＝10^2（三平方の定理）
より、（１０－ＡＨ）^2＋ＢＨ^2＝１００
１００－２０ＡＨ＋ＡＨ^2＋ＢＨ^2＝１００
ＡＢ^2＝２０ＡＨ　（５）

（４）、（５）より
ＡＢ^2＝５√（１０－２√５）・ＡＢ

ＡＢ≠０
なので
ＡＢ＝５√（１０－２√５）

結構、しんどいですね。
５√（１０－２√５）＝11.75570．．．こんな感じになるはずです。
計算は確認してください。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.2

debut

円周上の５等分点のうち、となり合う２点Ａ，Ｂと円の
中心Ｏでできる△ＯＡＢは、ＯＡ＝ＯＢ＝10cm、∠Ｏ＝72°
の二等辺三角形です。すると、余弦定理から
ＡＢ^2＝10^2＋10^2－２×10×10×cos72°
が成り立ちます。
電卓では、cos72°＝0.30901699437494742410229341718282・・
なので、
ＡＢ^2＝200-61.8033988749894848204586834364・・
　　　＝138.1966011250105151795413165636・・
∴ＡＢ＝11.755705045849462583374119092788・・
と計算できます。

補足

すいません・・・余弦定理って何ですか？それを使わないで解く方法はないですか？

回答No.1

hisa-gi

正五角形ですよね？
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=10*sin36%E5%BA%A6*2&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

補足

はい、そうです。