正四面体の外接球の半径に関する問題(´；д；`)

質問

問「半径１の球に内接する正四面体の辺の長さ、およびその四面体に内接する球の半径を求めよ」

苦戦してます(´；д；`)
わかる方教えてください。

回答No.3

mis_take

空間座標を使った解答

A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1) とすると
AB=AC=AD=BC=BD=CD=√2 だから正四面体の４頂点になっています。
正四面体ABCDの中心P（外接球，内接球の中心）は (2/4,2/4,2/4)
正三角形ABCの中心Q（内接球の接点）は (1/3,1/3,1/3)
外接球の半径：正四面体の辺：内接球の半径＝PD：AB：PQ＝1：［］：［］

の［］が答えです。

回答No.2

naniwacchi

外接（球に内接）も、内接もポイントは、面の「重心」になります。

・面は正三角形ですので、1辺の長さ（求める長さ）を Lとでも置きましょう。
・外接球の中心も、内接球の中心も、頂点と向かい合う面の重心とを結んだ線上にあります。
また、この線は面に垂直になっています。
この垂線の長さはピタゴラスの定理を使って求めることができます。
・外接球の中心と内接球の中心については、「ある関係」があります。
（正三角形の外接円と内接円との中心の関係に似ています）

(1) 外接球から辺の長さを求める。
最終的に立てる式は、（外接球の半径）＝１という式になります。
外接球の中心と頂点を結ぶと、立体は「4分割」されます。
体積について考えていけば、上記の式が立てられます。

(2) 内接球の半径
(1)の計算から、そんなに手間を踏まずに求められます。

断面図や上から見た図などを描いて、考えてみてください。
わかりにくいところなどあれば、補足してください。

回答No.1

noname#250262

空間図形を切断し、そこから、
相似、三平方の定理を駆使するのがテイセキです。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/seishimentai-kyuunaigaisetsu.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

参考にさせていただきました。