内接球の半径の最大値

質問

等辺の長さが２の鋭角二等辺三角形の紙がある。各辺の中点を結ぶ線分を折り目として三角錐をつくるとき、その三角錐の内接球の半径の最大値を求めよ

この問題に取り組んでいます。二等辺三角形の不明の辺をｘとおいて、三角錐を真ん中で切った平面を考えて、半径を出してみたのですが、ルートや2乗がたくさん入っている式になってしまい微分して最大値を求めるのが困難になってしまいました。
この問題は幾何的（？）に最大値が求まるのでしょうか？
それとももっとうまい変数の取り方があるのでしょうか？
回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

三角形の中点を結んでできる４つの三角形は合同
三角形の面積をSとすると、それぞれの４つの三角形の面積はS/4
三角錐の体積をV、高さをh（もとの三角形の部分が底面にくるときの）、内接球の半径をrとすると、
V=(1/3)(S/4)h
また、
V=(1/3)(S/4)r+(1/3)(S/4)r+(1/3)(S/4)r+(1/3)(S/4)r=(1/3)Sr
とも表せる。
（三角錐の各面を底面、高さがrの三角錐と見て、もとの三角錐を
４分割する）
両方の式を比べて、
r=h/4
となる。
rの最大値を求める問題が、高さの最大値を求める問題にすり替わる。

ここで、長さが２の辺の挟む角度を2θとする。（鋭角なので、0<θ<π/4）
高さをθの関数として表したいが、３辺の長さがcosθ、cosθ、2sinθ
の三角形で、長さがcosθの辺を底辺とする高さを計算すると、
h=2tanθ√(cos^2(θ)-sin^2(θ))
（ヘロンの公式から三角形の面積をθであらわして、それが
(1/2)cosθ・hに等しいことなどから出る。なぜこの三角形を考えるか
は図を書いてみてください。文章だと長くなってちょっと面倒なので）
これから、最大値を求めたいのですが、なかなかうまくいきません…

エクセルで数値計算してみると、No1さんの数値で正しいようです。

長々書いて結論が出なくて申し訳ないのですが、加法定理とか色々
組み合わせてうまく出ないでしょうか…
（この問題はご自分で作られたのですか？）

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.3

zk43

ちょっとまた考えたのですが、rをxで表したときの式を２乗して、
対数をとったものを微分してrが最大になるxを求めるほうが計算が
しやすくなるのではないでしょうか。対数をとっても対数関数は
増加関数で最大になるxは同じなので。

回答No.1

nakaizu

三角錐の体積をV、表面積をS、内接球の半径をrとすると
V=1/3 Sr
の関係式が成り立ちますから、これを元に内接球の半径を求めるのがよいと思います。
計算してみたところ
r=x√(16-2x^2)/(8√(16-x^2))
となり、
x= √(16-8√2)=2.1647…のときに最大になるようですが、途中式がかなり面倒なものになるので、計算間違いがあるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました！