重積分の範囲 の問題が解けません・・・。；o；

質問

次の線積分の値を求めよっていう問題なんですが・・。

1)∫c ｘ2 dx+2xydy C:(1,1)から(-1,3)へ直線で結んだもの。(x2はxの二乗のことです。)

2)∫c xydy+ ex2dy C:y=x2,向き：(0,0)→(2,4).　<ex2はeのxの2乗乗で、x2はxの二乗のことです>.

3)∫c y2dx+x2dy C:x=cost,y=sint (t:0→π) <y2はyの二乗、x2はxの二乗のことです。>

答えは、1)-2, 2)3+eの4乗, 3)-4/3 です。どうやったら、これらの値になるのでしょうか？困ってます。　；o；

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

線積分の定義をよく確認されればできると思います。例えば(1)はC:(1,1)から(-1,3)への直線に沿ったxに関する線積分とは、-1から1までの通常のxの積分の符号を変えたものになります。
　∫c ｘ2 dx = -∫[-1～1]ｘ2 dx = -2/3
また∫c 2xydyの中のxは、曲線上でy座標がyの点でのxの値をとります。曲線の方程式はx+y-2=0なので
　∫c 2xydy = ∫c 2(-y+2)ydy
　= ∫[1～3]2(-y+2)ydy = -4/3
よって
　∫c ｘ2 dx+2xydy = -2

お礼

ありがとうございました。(・o・)/　持っている本がちょっとわかりにくかったので、助かりました。

回答No.2

grothendieck

2)∫c xydy+ ex2dy
は、
　∫c xydx+ ex2dy
の誤りでしょう。ついでにこれもやりましょう。曲線の方程式はy=x2あるいはx=√y。∫c xydx ではyをx2で置き換えて、
　∫c xydx = ∫[0～2]x3dx = 4
∫c ex2dyはxを√yで置き換えて、
　∫c ex2dy = ∫[0～4]eydy = e4 - 1
よって
　　∫c xydx+ ex2dy = 3 + e4
(3)はtの積分に書き換えた方が良いでしょう。