媒介変数を使った関数のグラフ

質問

いつもお世話になっています。　以下の問題の着眼点がわからず困っています。

媒介変数tを用いてあらわされる
x=t-sint
y=1-cost
(0<t<2π）
について、グラフが上に凸であることを示せ。

このために
dx/dt=1-cost
dy/dt=sint
dy/dx=sint/(1-cost)

d^2x/dt^2=sint
d^2y/dt^2=-cost
d^2y/dx^2=-cost/sint
を導き
[t,x,y,dy/dx,d^2y/dx^2][t:(0)、、2/π、、π、3、/2π、、(2π)]
の増減表を作ったときに、どこを指摘して、グラフが上に凸であると言えるのでしょうか。

回答No.4

y_akkie · ベストアンサー

媒介変数を用いた式で第二次導関数を求める際には、注意して下さい。
第二次導関数とはｙをｘで２回微分する事です。

よって、 y'=dy/dxとして、y'' = dy'/dxとする必要があります。
y,xを媒介変数tによって表されているとき、
y' = (dy/dt)/(dx/dt)、y'' = (y'/dt)/(dx/dt)とします。
要するに、yをtで２回微分したものを、xをtで1回微分したもので割れば
良いです。

お礼

基本的考え方を指摘してくださって、ありがとうございます。
第三次導関数も同じ考え方でしょうか。

回答No.8

hugen

(d^2y/dt^2)÷(d^2x/dt^2)＝d^2y/d^2x≠d^2y/dｘ^2
　　　　　（分母か異なる ------ d^2x≠dx^2 )

回答No.7

y_akkie

#3です。お礼の箇所でご質問を頂いた箇所ですが、
以下の箇所に誤りがありました。大変申し訳ありません。

＞要するに、yをtで２回微分したものを、xをtで1回微分したもので割れば
＞良いです。

この箇所に誤りがありました。
（yをtで微分したものをxをtで微分したもので割り）、さらにそれをtで微分
したものを（xをtで微分したもので割る）というのが正しいです。
第３次導関数の場合も、その繰り返しなのですが、
d^2y/dx^2 = d(dy/dt)/(dx/dt)/dtになりますから、
第３次導関数を求める場合は、
d^3y/dx^3 = {(d^2y/dx^2)/dt}/(dx/dt)になります。
つまり、tで表された第二次導関数に対してtで微分し、なおかつ、
xをtで微分したものを割ると、第三次関数を導出する事ができます。

すなわち、

y' = (dy/dt)/(dx/dt)
y''= (dy'/dt)/(dx/dt)
y'''= (dy''/dt)/(dx/dt)

となりますね．．。

回答No.6

kkkk2222

ーーー
＃３です。

（老婆心）＾２

＃５様は相当の知識を所有されているようですが、
今回に関しては、
思い違いされているようです。
この点は貴殿もご承知と推測します。

サイクロイドであることは、書くまでもないことです。
当方も今回の御質問を見た瞬間
＜何故、グラフが上に凸を示す必要が・・・
＜通常は、サイクロイドの曲線長が８である・・・
されど、詮無きことです。
収穫はありました。
貴殿の記述から
ｔ＝０、２πで傾きが±∞であることに・・・
ーーー
＃３の誤植を訂正します。（気がついた所だけ）

上から２行目　dy'/dt　が抜けています。
最後の部分　］<0　括弧が抜けました。
ーーー

回答No.5

connykelly

ご質問の曲線はいわゆるサイクロイド曲線といわれるものですね。1次微分の範囲で考えてみます。極大値はdy/dx=sint/(1-cost)=0とおいてt=(2n+1)π、n=0,1,2,・・・と求まります。これは周期的なのでn=0の場合のみを考慮すればいいですね。
1-costは常に≧0となりますからdy/dxの増減表の符号はsintで決まることになります。そこで次の各領域でsintの符号をチェックすると0<t<πでsint>0、π<t<2πでsint<0となり、t=πで符号が＋から－に変化しています。したがってt=πで極大値をとり、上に凸の曲線ということになります。

回答No.3

kkkk2222

y'=sint/(1-cost)
=((cost)(1-cost)-(sint)(sint))/(1-cost)(1-cost)
=(cost-1)/(1-cost)(1-cost)
=1/(cost-1)

dy'/dx
=(dy'/dt)(dt/dx)
=［1/(cost-1)］［1/(1-cost)<0

回答No.2

info22

＃１です。
最後の行の
「=-1」はごみです。削除して下さい。

回答No.1

info22

>d^2x/dt^2=sint
>d^2y/dt^2=-cost
>d^2y/dx^2=-cost/sint
この計算が間違っています。
d^2y/dx^2=d{dy/dx}/dx
=[d{sint/(1-cost)}/dt]/(dx/dt)=-1/(1-cost)^2 <0 (0<t<2π)
ゆえに(0<t<2π)で上に凸。
=-1