数学の問題がよくわかりません。弧長を求める問題です。

質問

数学の問題がよくわかりません。弧長を求める問題です。
まず、Ｃを画像の通りとおきます。tは０から2πまでが範囲です。
（１）Ｃの弧長を求めよ
（２）線積分を求めよ。
という問題です。（２）は画像の積分らしいです。
この問題がわかりません。どのように解けばよいのでしょうか？

（１）はxもyもtで微分して

dx/dt = -3sint(cost)^2
dy/dt = 3cost(sint)~2

弧の長さをＳとすると

Ｓ=∫[0から2π]√{( (dx/dt)^2 )+( (dy/dt)^2) }dt
（{}はルートの中です。）

となると思います。
しかし、このあとどのように計算すればよろしいのでしょうか？

Ｓ＝∫[0から2π]√{9((sint)^2)((cost)^2)}dt
ここからどのようにルートを取ればよいのでしょうか？
絶対値をつけて出してみると０になってしまいます。。

（２）はどのように解くのでしょうか？
線積分の式にxとyをそれぞれ代入するところまでしかわかりません・・・・

回答No.3

Anti-Giants · ベストアンサー

Aの置き方を、テキトーにやりすぎました・・・。
正しくは（今度こそ正しいはず・・・）以下の通りです。

与式=iint[D]2dxdy=Dの面積の2倍=Cに囲まれた部分の面積の2倍=A.

A
=2×4×1/2int[0,π/2]9c^4s^2+9c^2s^4dt
=12int[0,π/2]c^2s^2dt
=3π/4.

お礼

ありがとうございます！
（１）はこうすればよかったんですね。。失念です。。

ところで、（２）なんですが・・・
そのような定理は授業ではならってないのでよくわからないですね・・・
別のやり方があったりしますか？

回答No.2

Anti-Giants

間違えました。
最後の計算は3π/4になるはずです。

回答No.1

Anti-Giants

cos(t)=c,sin(t)=s、と略記。

x=c^3.
y=s^3.
dx/dt=-3c^2s.
dy/dt=3cs^2.

(1)
L
=int[0,2π]root{9c^4s^2+9c^2s^4}dt
=int[0,2π]3|sc|dt
=12int[0,π/2]scdt
=6

(2)
グリーンの定理
iint[D](∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=int[∂D](Pdx+Qdy)
∂DはDの境界のこと。

この場合、D=CとCの内部、P=-y、Q=x、とした右辺が与式。
∂Q/∂x=1.
∂P/∂y=-1.

与式=iint[D]2dxdy=Dの面積の2倍=Cに囲まれた部分の面積の2倍=2A.

A
=1/2×4×1/2int[0,π/2]9c^4s^2+9c^2s^4dt
=3int[0,π/2]c^2s^2dt
=3π/16.

こんな感じです。検算してない。