C∞級関数

質問

f(x)=0(x≦0)，e^(-1/x)(x＞0)
とおくと、
f(x)は実数上のC∞級関数でかつ
すべての非負整数ｎに対してf^(n)(0)=0であることを証明せよ。

f^(n)(x)がわかりません。 誰か教えてください。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

x＞0で、
f^n(x)=(p_n(x)) (x^(-2n)) exp(-1/x),
但しp_n(x)はn-1次以下のxの多項式
となることを数学的帰納法で示せばいいです。

この式からlim_(x→+0) f^n(x) = 0となる事は
証明出来るでしょう。