２次関数の不等式の範囲

質問

“Xについての不等式　３kX^2＋4kX－k＋８＞０・・・(1)について、
[１]すべての実数Xに対して、常に(1)が成り立つ整数kの値を求めよ
[２]すべての整数Xに対して、常に(1)が成り立つ実数kの値の範囲を求めよ”
という問題です。[１]はk≧０とし、(1)の左辺を基本形になおし、頂点のy座標＞０から求めることができたのですが、[２]が全くのお手上げ状態です。何から始めたらいいのか分かりません。どう考えていくのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

考え方は(1)の場合と大きくは変わりません
k≧0は同じです。
k=0では
-k+8>0は成立で　k=0は条件を満たす。
k>0では
不等式は
f(x)=3X^2＋4X－1＋(8/k)=X+(2/3)}^2-(7/9)+(8/(3k))>0
で
頂点座標は
(X,Y)=(-2/3,(24-7k)/(3k))
対称軸はX=-2/3≒-0.667
となりますが
Xは整数ですから-2/3に最も近いX=-1での最小値f(-1)を考えればいいことになります。
f(x)の最小値はf(-1)=-2+(8/k)になります。
したがって
f(-1)=-2+(8/k)>0を満たすkの範囲を求めます。
-2k+8>0
k<4
k>0だから0<k<4
以上からkの範囲をまとめると
0≦k＜4
となります。

お礼

回答ありがとうございます。
分かりやすくて助かりました。

回答No.2

info22

#1です。
＞f(x)=3X^2＋4X－1＋(8/k)=X+(2/3)}^2-(7/9)+(8/(3k))>0
f(x)=3X^2＋4X－1＋(8/k)=3[X+(2/3)}^2-(7/9)+{8/(3k)}]>0
＞頂点座標は
f(X)の頂点座標は
の転記ミスですのでA#1を訂正します。
他には影響しません。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
大変助かりました。