a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…

質問

文字は正とする。
a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

実数x、y、zについて　絶対不等式：x＾2＋y＾2＋z＾2≧xy＋yz＋zx　‥‥(1)が成立する。
何故なら、左辺-右辺＝(1/2)*{(x-y)＾2＋(y-z)＾2＋(z-x)＾2}≧0だから。等号はx＝y＝z　‥‥(2)の時。

＞a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

(1)でx＝a＾2、y＝b＾2、z＝c＾2　とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a＝b＝c の時。

＞b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

(1)でx＝ab、y＝bc、z＝ca　とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a＝b＝c の時

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。
証明から、文字は正でなくてもよいようでした。

回答No.3

mister_moonlight

＞証明から、文字は正でなくてもよいようでした。

いや、その条件を使った解法を示そう。相加平均・相乗平均が使える。

＞a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

a^4+b^4≧2a^2b^2、b^4+c^4≧2b^2c^2、a^4+c^4≧2c^2a^2。
これらを足すと　a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2　になる。

＞b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

b^2c^2+c^2a^2≧2abc^2、c^2a^2+a^2b^2≧2bca＾2、a^2b^2＋b^2c^2≧2acb＾2
これらを足すだけ。

お礼

すばらしい内容をありがとうございました。

回答No.1

WiredLogic

a^4 + b^4 + c^4 - (b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2)
= (1/2){(b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2) + (a^2-b^2)}≧ 0
(等号成立は、a^2=b^2=c^2のとき)
よって、a^4 + b^4 + c^4≧b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2、

(b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2) - abc(a+b+c)
= (1/2){(ca - ab)^2 + (ab - bc)^2 + (bc - ca)^2}≧ 0
よって、b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2≧abc(a+b+c)

等号が成立するのは、ca=ab,かつ,ab=bc,かつ,bc=caのとき、
a=0ならば,bc=0、b=0ならば,ca=0、c=0ならば,ab=0
a,b,c≠0ならば、a=b=c、

よって、等号の成立条件は、a=b=c≠0,または、a,b,cのうち少なくとも２つが0であること、

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。
証明から、文字は正でなくてもよいようでした。