(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc

質問

文字は正とする。　　
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

回答No.1

いろは にほへと（@dormitory） · ベストアンサー

a＞0、b＞0、c＞0より相加平均相乗平均から、

a+b≧2√(ab)＞0
b+c≧2√(bc)＞0
c+a≧2√(ca)＞0

これら皆正であるから、辺々掛け合わせて、
(a+b)(b+c)(c+a)≧8√(a^2・b^2・c^2)=8abc。
つまり(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc。
等号が成り立つ場合は、a=b,b=c,c=aよりa=b=cの時

だったと思います。各々の文字が正でないと相加相乗は使えないことに注意ですね

お礼

ありがとうございます。よく分かりました。

回答No.2

info22_

(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc の証明のA#1の別解
(左辺)-(右辺)=(b+c)(c+a)(a+b)-8abc
=a(b-c)^2+b(c-a)^2 +c(a-b)^2≧0 (∵a,b,c＞0)
（等号はa=b=cのとき成立）

お礼

すばらしい解法をありがとうございました。