a,b,c,>0で

質問

a,b,c,>0で
a^2+b^2+c^2=3
のときa^3+b^3+c^3+3abc≦6
を示したいです。
教えてくださいお願いします

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

いずれにしても、相加平均・相乗平均は使うが、問題はその後なんだが。
面倒だから、a＞0、b＞0、c＞0は省略する。

相加平均・相乗平均から、a＾3＋b＾3＋c＾3≧3abc　等号はa＝b＝c の時。
よって、a^3+b^3+c^3+3abc≦2(a^3+b^3+c^3)≦6　つまり、(a^3+b^3+c^3)≦3を示すと良い。
又、a^2+b^2+c^2＝3　から、結局は　a^3+b^3+c^3≦a^2+b^2+c^2　を示すと良い。

(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)＝a＾2*(1-a)＋b＾2*(1-b)＋c＾2*(1-c)であるから、1-a≧0、1-b≧0、1-c≧0を示すと良い。

a、b、cについて平等から、a≧b≧cとしても一般性を失わない。
3c＾2≦a＾2＋b＾2＋c＾であるから、3c＾2≦3　→　c≦1.　bとaについても同じから　b≦1、a≦1.
よって、証明された。但し、等号は　a＝b＝c＝1 の時。

お礼

3c＾2≦a＾2＋b＾2＋c＾であるから、3c＾2≦3　→　c≦1.
すみません間違ってしめきっちゃったけど
これがa,bについては言えないと思うんですけど・・・
どうやって言うのですか？

回答No.2

m2rebirth

普通に解いても面白くないので…

相加相乗の３つ、４つのバージョンを使えば簡単に解けますよー
まあ宿題なら学校の先生が求めている答えとは違いますが…

一応公式だけ、（もちろんα、β、γ、ψは正）

(1)α＋β＋γ≧３（三乗根√αβγ）　　　→三乗根は指数対数の項目でチェック

(2)α＋β＋γ＋ψ≧４（四乗根√αβγψ

(1)で０≦abc≦１がでて、(2)でそれをつかって証明すればOK

補足

(1)で0≦abc≦1はわかったのですが
(2)でa^3+b^3+c^3+3abc≧6abcとなるのはわかるのですがここから
不等号の向きてきに
a^3+b^3+c^3+3abc≦6
にはならないと思うのですが…
よく分からないので解説お願いします。

回答No.1

B-juggler

宿題かな？

どこまで解けたか書いてね～　ｍ（＿　＿）ｍ

ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２＝３　のときに　ａ＋ｂ＋ｃ　は　どうなっているかな？
　＃これヒントね♪

補足

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
を使うんですよね？