(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc

質問

文字は正とする。
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

いずれにしても、相加平均・相乗平均を使う事になる。

b+c≧2√(bc)、等号は　b＝cの時。c+a≧2√(ca)、等号は　a＝cの時。a+b≧2√(ba)、等号は　a＝bの時
よって、この3つの不等式を掛けると　(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc。
等号は　a＝b＝cの時

相加平均・相乗平均を掛け合わせて使う時　注意しなければならないのは　等号成立条件。

簡単な問題だから、ちょつと遊んでみよう。

a+b+c＝αとすると　(b+c)(c+a)(a+b)＝(α-a)*(α-b)*(α-c)＝α＾3-(a+b+c)α＾2＋(ab+bc+ca)αーabc＝α＾3-α＾3＋(ab+bc+ca)αーabc＝(ab+bc+ca)αーabc。
つまり、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abcを示すと良い。
a+b+c≧3(3)√(abc)、ab+bc+ca≧3(3)√(abc)＾2.
この2つの不等式を掛けると、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abc　等号はa＝b＝cの時

お礼

聡明な別解もいただきありがとうございます。

回答No.1

noname#149809

左辺の各因数を相加平均の2倍と見なしたら。

お礼

なるほど、おっしゃるとおりです。ありがとうございます。