a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0

質問

a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0)
abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。

という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。

回答No.2

masa072 · ベストアンサー

確かに相加相乗を使いますが、先ほどの式は違います。

n個の正数があるとき、
相加平均はn個の総和をnで割ったもの。
相乗平均はn個の積のn乗根をとったもの。

それに対して常に（相加平均）≧（相乗平均）が成り立ち、等号はn個の正数の値が全て等しいときになります。

今回はa,b,2cと3数があるので、
相加平均は(a+b+2c)/3
相乗平均は(a*b*2c)^(1/3)となり、
(a+b+2c)/3≧(2abc)^(1/3)が成り立ちます。

a+b+2c=4kより、4k/3≧(2abc)^(1/3)となります。
両辺を3乗すると、64k^3/27≧2abcで、abc≦32k^3/27
等号成立時がabcの最大値となるので、a=b=2c、即ちa=b=4k/3,c=2k/3のとき最大値32k^3/27となります。

お礼

3つになったら3乗根になるんですね！
平均ですもんね。
詳しくありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「相乗平均」って知ってますか?

お礼

等号成立を調べるんですね。すいません基本的な問題でしたね。回答ありがとうございました。

補足

a+b+2c≧2√2abc
2k^2≧abc

これであってますか？
この時のa,b,cがよくわからないです。