≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a，b，cに対して，F=(3

質問

≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a，b，cに対して，F=(3-a)(3-b)(3-c)とおく。このとき，a，b，cが条件を満たしながら動く時のFの最大値を求めよ。

≪自分の考え≫
展開してみても、特に何も見えず…
文字を消したとしても、１つまで…

どうしたいいのかわかりません＾＾；

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

変形に気が付けば、１発で終わり。

3-a＝b＋c、3-b＝c＋a、3-c＝a＋b　であるから、Ｆ＝（b＋c）*（c＋a）*（a＋b）。
a＞0、b＞0、c＞0より、相加平均・相乗平均から、（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）≧3（3）√{（b＋c）*（c＋a）*（a＋b）}
a+b+c＝3から、6≧3（3）√{（b＋c）*（c＋a）*（a＋b）}。
3乗すると、Ｆ≦8.
そして、等号成立は？

文字が全て正の時は、相加平均・相乗平均が使えないか、を疑ってみると良い。

お礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ♪

回答No.2

f272

出てくる式で、a,b,cのどの2つを入れ替えても全く同じになるよね。
ということはa=b=cの場合がなにか特別な点になってると思わないか？

お礼

ありがとうございましたｗ

回答No.1

pasocom

３辺の長さが、それぞれ（3-a）、（3-ｂ）、（3-c）の長方体を考えてみましょう。すると、Fとは、この長方体の体積に他なりません。
しかもこの長方体の３辺の長さの和は、9-（a+b+c)＝6　です。
ここで荷物（F）の３辺の和は一定です。この条件でFの体積を最も大きくするには、各辺の長さが同じである立方体のときです。（あまり数学的ではないけれど・・・）
すなわちa＝b＝c＝1　の時にF=8　となるのが、最大ですね。

お礼

ありがとうございましたｗ