三角形に関する(a^2+b^2+c^2)/R^2

質問

3辺の長さがa,b,cの三角形に関して、外接円の半径をRとするとき

(a^2+b^2+c^2)/R^2=9 ⇔ 三角形は正三角形

(a^2+b^2+c^2)/R^2=8 ⇔ 三角形は直角三角形

と聞きました。この証明をご存知の方は教えてください。

また、四面体ではどうなるかご存知であれば教えてください。

回答No.1

mister_moonlight

正弦定理から、a＝2ＲsinＡ、b＝2ＲsinＢ、c＝2ＲsinＣ。これを条件式に代入すると(a^2+b^2+c^2)/R^2＝4{sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ}となる。

簡単な方からやってみよう。

・直角三角形の場合
4{sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ}＝8　だから、2倍角の公式を使うと、sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ＝3/2-1/2{coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ}＝2　つまり、coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＋1＝coc2Ａ＋cos2Ｂ＋2{cos2Ｃ＋1}＝2cos(Ａ＋Ｂ)cos(Ａ-Ｂ)＋2cos＾2(Ａ＋Ｂ)＝cos(Ａ＋Ｂ)*cosＡ*cosＢ＝0.
これを解くと、どれかは　π/2.　逆は自明。

・正三角形
これはちょっと面倒みたいだ。
条件から　coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝-3/2　になる。
ここで　coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ　の値域を考えてみよう。
coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝2cos(Ａ＋Ｂ)*cos(Ａ-Ｂ)＋cos2Ｃ≦2cos(Ａ＋Ｂ)＋cos2Ｃ＝-2cosＣ＋2cos＾2Ｃ-1＝2(cosＣ-1/2)＾2-3/2。‥‥(1)
coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝-3/2となるから、(1)で　cosＣ-1/2＝0。
この時、Ｃ＝π/3、Ａ-Ｂ＝0　→　cos(Ａ-Ｂ)＝1　の時。つまり、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝π/3。逆は自明。