広義積分の問題が分かりません。

質問

見ていただきありがとうございます。
次の問題が分かりません

∫（x^2/{(x^2+1)(x^4+4)}）dx[0から∞]
という問題です。

よければ解き方もおしえていただければありがたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

0＜被積分関数＜1/xの4乗 だから、
広義積分は収束して、値は
＜∫[0～c]被積分関数dx+∫[c～∞](1/xの4乗)dx
であることが判る。(c は任意の正実数)

有理式の積分なのだから、部分分数分解を
地道に行えば、不定積分を初等的に表示
することができ、具体的な値も求まる。

回答No.2

Ae610

∫[0→∞){x^2/((x^2+1)(x^4+4))}dx
= ∫[0→∞){1/(x^4＋4)}dx－1/5・∫[0→∞){1/(x^2＋1)－(x^2－1)/(x^4＋4)}dx
= 4/5・∫[0→∞){1/(x^4＋4)}dx－1/5・{∫[0→∞){1/(x^2＋1)}dx＋∫[0→∞){x^2/(x^4＋4)}dx}
= 4/5・π/8－1/5・π/2＋1/5・π/4
= π/20

回答No.1

nag0720

部分分数に分解して、

x^2/{(x^2+1)(x^4+4)}
=(1/5){(x^2+4)/(x^4+4)-1/(x^2+1)}
=(1/5){(x^2+4)/(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)-1/(x^2+1)}
=(1/20){(x+4)/(x^2+2x+2)-(x-4)/(x^2-2x+2)-4/(x^2+1)}
=(1/20){((x+1)/((x+1)^2+1)-(x-1)/((x-1)^2+1)+3/((x+1)^2+1)+3/((x-1)^2+1)-4/(x^2+1)}

とすれば積分できませんか。