広義積分の問題

質問

∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx
という問題です。16で0になるのはわかります。でも肝心の積分が出来ません。４乗根をどうしたらいいかわからなくて、一歩も進みません。一歩目の考え方だけでも良いです。教えてください。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

I=∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx

t=(16-x)^1/4とおくと

x=16-t^4 ⇒ dx=-4t^3dt

I=∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx=lim(u→2)∫［u, 0］(-4t^3dt)/t=lim(u→2)∫［0, u］4t^2dt

=lim(u→2)(4t^3/3)［0, u］=lim(u→2)(4u^3/3)=32/3

置換によってx=16における特異性が消滅する、superficialな広義積分の例です。

お礼

置換！なぜ置換が思いつかなかったのでしょうか。とほほ。丁寧に回答していただきありがとうございます。

回答No.1

info222_

I=∫［0, 16］1/(16-x)^(1/4) dx
被積分関数の定義域は 16-x>0 ⇒ x<16 であることを考慮して
I=∫［0, 16］(16-x)^(-1/4) dx
=[-(16-x)^((1-(1/4))/(1-(1/4))] [0, 16]
=[-(4/3)(16-x)^(3/4)] [0, 16]
=(4/3) 16^(3/4) -(4/3)lim[x→16-0](16-x)^(3/4)
=(4/3) (2^3) -(4/3) × 0
=32/3 ... (Ans.)