数IIIの問題教えてください

質問

次の極限を求めてください。
１．lim h→0 (e^h)-1/h
２．lim x→∞　ｘ{log(x+2)-logｘ}
３．lim x→０　e^(xsin3x)-1/xlog(1+x)

解説が詳しいとありがたいです。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

ここへ質問を投稿するときは、
カッコを多めに使って、誤解されないよう、
気をつけましょう。

特に、無理式(ルートの中に文字式があるもの)や
この問題のように分数式のときは、
どこからどこまでルートの中身なのか、
分母・分子なのか、が解るように、

質問の問題の場合は、よくあるタイプで見当がつくため、
その線での回答のしようはありますが、もし違っていたら、
補足に、書き込んでください。他の回答者さんにとっても
助かるでしょうから。

1. lim[h→0] (e^h - 1)/h = lim[h→0] (e^h - e^0)/h は、

文字が「h」であるところが、ヒントになっていて、
f(x) = e^x とおくと、微分係数の定義の式から、
f'(0) = lim [h→0] {f(h)-f(0)}/h = lim[h→0] (e^h - e^0)/h
ですから、質問の式 = f'(0) が解ります。

これで求められますね^^

(この問題をやっているなら、まだ教科書の極限を
やっていて、微分まだです、なんてことはないはず^^)

2. lim [x→∞] x{log(x+2)-log(x)} は、

1みたいにできないかな、と、試しに、h = 1/x とおいてみます。
すると、x→∞のとき、h→(+)0、x=1/h ですから、

lim [x→∞] x{log(x+2)-log(x)}
= lim [x→∞] x log{(x+2)/x} = lim [x→∞] x log(1 + 2/x)
= lim [h→0] (1/h)log(1 + 2h)
= lim [h→0] (1/h){log(1 + 2h) - log(1)}

2hでなく、hだったら、1のようにやれるのになぁ、
と思えたらしめたもの、f(x) = log(1+x) とすれば、

与式 = lim [h→0] 2{1/(2h)}{log(1 + 2h) - log(1)}
= 2 lim [h→0] {1/(2h)}{log(1 + 2h) - log(1)} = 2 f'(0)

とすることができます。

もし、最後の極限がよく解らなかったら、
最初の内は、h' = 2h とおいて、
与式 = 2 lim [h'→0] {1/h'}{log(1 + h') - log(1)} = 2 f'(0)
と、やっても、大丈夫ですが、
練習を積んで、早い段階で、
そのままでもできるように
しておいた方がいいでしょう。

3. x＜0だと、log(1+x)が定義できないので、x≧0で考える、
つまり、x→0は、x→+0としないといけません。

結構な応用問題になりますが、やはり、1のパターンが
使えるような形に持ち込みたいと考えて、

特に、e^(x sin(3x)) あたりが悩ましいですが、
x*sin(3x) = t とおけば、
e^(x*sin(3x)) - 1 = e^t - e^0
と見ることができて、
x→+0のとき、t→+0なので、
(e^t - e^0)/t に持って行けばいいな、と考え、

分母のlog(1+x)は、分子・分母を
ひっくり返して、log(1+x)/x の形に
したいな、と、考えていくのが筋です。

すると、
{e^(x sin(3x)) - 1}/{x log(1+x)}
= (e^t - e^0)/t * x/log(1+x) * t/x^2 ですから、

lim [x→+0] {e^(x sin(3x)) - 1}/{x log(1+x)}
= lim [t→+0] (e^t-e^0)/t * lim [x→+0] x/log(1+x) * lim [x→+0] x*sin(3x)/x^2

最初のパートは、1を使って、
lim [t→+0] (e^t - e^0)/t = 1 とでき、

真ん中のパートは、分子分母をひっくり返すと、
f(x) = log(1+x)とすると、f'(x) = 1/(1+x)だから、
lim [x→+0] log(1+x)/x
= lim [x→+0] {log(1+x)-log(1)}/x
= lim [x→+0] {f(x)-f(0)}/x
= f'(0) = 1/(1+0) = 1、

最後のパートは、
lim [x→+0] x*sin(3x)/x^2
= lim [x→+0] sin(3x)/x
= lim [x→+0] 3*sin(3x)/(3x)
= 3 lim [x→+0] sin(3x)/(3x)
= 3*1 = 3

のようにしてやります。

お礼

ご指摘、詳しい解答、ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

１．lim h→0 {(e^h)-1}/h
これは覚えてたほうがよい。"1"だ。

２．lim x→∞　ｘ{log(x+2)-logｘ}
x{log(x+2)-log(x)}=xlog{(x+2)/x}=xlog(1+2/x)=log{(1+2/x)^x}
ここで(1+1/x)^x→e (x→∞)を思い出してほしい。
(1+2/x)^x=[{1+1/(x/2)}^(x/2)]^2
と変形すればわかるだろう。

３．lim x→０　{e^(xsin3x)-1}/{xlog(1+x)}
1,2の形に持っていくようにしましょう。
次のように変形して4つの要素の積に変形します。

{e^(xsin3x)-1}/{xlog(1+x)}=3*{e^(xsin3x)-1}/(xsin3x)*sin3x/(3x)*x/log(1+x)
最初の3は問題ないとして後の3つのうち2番目と4番目については1,2の問題のちょっとした応用。3番目はsinx/x→1 (x→0)を使えば簡単。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました。