基底の正規直交化

質問

３次元空間R^3の基底（ 1, -1, 0 ）,( 2, 1, 1 ),( 1, 2, 3 )を正規直交化せよ
という問題なんですがどうするのでしょうか？

↓途中までといてみました。途中式や公式、計算が間違ってるかもしれませんが・・・・

a =（ 1, -1, 0 ）, b = ( 2, 1, 1 ),c = ( 1, 2, 3 )として
それぞれの正規直交成分をe1,e2,e3とおきます。
最初に
|a| = √２から
e1 = a / |a| = √2（ 1, -1, 0 ）
次にb~(ｂチルダ) = b - <b,e1>e1（<>は内積です）より（←ここの式が違う？）
b~ = ( 2, 1, 1 ) - ( 1, -1, 0) = ( 1, 2, 1 )
よって
e2 = b~/|b~| = 1 / √6 ( 1, 2, 1 )
さらにc~ = c - <c,e1>e2 - <c,e2>e1から（←ここの式が違う？）
・・・・・・・・・・・・・
（ここでc~の値がむちゃくちゃになったのでかきません・・・・）
よってe3 = c~/|c~| = ?
という感じです。

回答No.3

tinantum · ベストアンサー

すみません．書き間違えました．ご指摘のとおり，
c~ = c - <e1,c>e1 - <e2,c>e2
です．

実際，
<e1,c~> = <e1,c - <e1,c>e1 - <e2,c>e2>
= <e1,c> - <e1,c><e1,e1> - <e2,c><e1,e2>
= 0,
<e2,c~> = <e2,c - <e1,c>e1 - <e2,c>e2>
= <e2,c> - <e2,c><e2,e1> - <e2,c><e2,e2>
=0
です．

回答No.2

tinantum

グラム・シュミットの正規直交化法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%8C%96%E6%B3%95
が一番有名で，あなたのアイディアと同じです（この方法は幾何学的に考えると自然に導けるものですが，ご自分でたどり着いたのであればとても優秀だと思います．）．

> e1 = a / |a| = 1/√2（ 1, -1, 0 ）

Ok

>次にb~(ｂチルダ) = b - <b,e1>e1（<>は内積です）より（←ここの式が違う？）, e2 = b~/|b~|

> c~ = c - <c,e1>e2 - <c,e2>e1から（←ここの式が違う？）,よってe3 = c~/|c~|

全部Okです（ただし今後，複素内積を扱う場合もあるので，普通は
b~= b - <e1,b>e1
c~ = c - <e1,c>e2 - <e2,c>e1
と書きます）．
実際b~がe1と直交することは，
<e1,b~>=<e1,b - <e1,b>e1> = <e1,b>-<e1,b><e1,e1> = 0
と確認できます（<e1,e1>=1に注意）．よってe1は，b~を正規化したe2とも直交します．
同様に，c~がe1,e2の両者とも直交することは，
<e1,c~> = <e1,c - <e1,c>e2 - <e2,c>e1>
= <e1,c> - <e1,c><e1,e2> - <e2,c><e1,e1>
= 0,
<e2,c~> = <e2,c - <e1,c>e2 - <e2,c>e1>
= <e2,c> - <e2,c><e2,e2> - <e2,c><e2,e1>
= 0,
（<e1,e2>=0に注意）と確認できます．よってc~を正規化したe3は，e1,e2とも直交します．

実際の計算は今一度冷静にご自分でしてみてください．

お礼

お答いただきありがとうございました。
ただ
c~ = c - <e1,c>e2 - <e2,c>e1
は
c~ = c - <e1,c>e1 - <e2,c>e2
ではないでしょうか？？
そちらのほうで計算するとおもったのですが・・・・・・・

回答No.1

koko_u_

正規直交化の方法は教えてもらったんですよね？
後は計算するだけなので、アドバイスもへったくれも無いと思うのですけど。

>e1 = a / |a| = √2（ 1, -1, 0 ）
イキナリ違う。
もう少し落ち着いて計算して下さい。

以上

補足

そうですね・・・・ちがいますね・・・・。
正規直交化は教えてもらってないです。
独学で解いてみたのですがいきなり違いましたね・・・
aが成分。|a|がその大きさなので
|a| = 1/√２(-1,1,0)
ですね・・・・・・・・・・。これはただの打ち間違いでした・・・。
b,cの正規直交化がよくわからないです。