式変形がわからない・・・

質問

ｚ=1/w=1/(u+iv)=u/(u^2+v^2)-iv/(u^2+v^2)
よりx=u/(u^2+v^2), y=-v/(u^2+v^2)
を得れます。ｗ平面における実軸に平行な直線v=v0, v0≠０のw=1/zによる逆像は
x^2+(y+1/2v0)^2=(1/2v0)^2を満たす円になります。
この導き方がわかりません。
式変形を教えてください。
せっぱつまっています。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

pomo0620さんの回答通りです。
以下は少し気になるであろう（？）点の蛇足です。
　w＝u＋iv　(1)
　z＝x＋iy　(2)
の関係からw＝1/zとした場合
　u＝x/(x^2+y^2)　　(3)
　v＝－y/(x^2+y^2)　 (4)
という関係式が得られv＝v0というw平面での実軸に平行な軌跡（直線）の条件を(4)に入れるとz空間では
　x^2+(y+1/2v0)^2=(1/2V0)^2　(5)
という円の軌跡を描くことになりますね。
蛇足の補足はここから。円の方程式は(4)の関係式から導かれましたが、(3)の条件はどうなるのかという点が気になります（←別に一向に気にならなければ以下の議論は不要です：笑い）。w平面でv＝v0という直線に沿って動くとき、uは任意の値を取ることができますね。すると(3)は
　任意の値＝x/(x^2+y^2)　　(6)
となって、変数x,yのとる値が上で求めた円の方程式を満たす値以外に取れるのではないか？　しかし、ご心配召されるな、(6)を満たすx,yもキチンと円の方程式を満たすのですね。(3)(4)より
　v/u＝v0/u＝－(y/x)　　(7)
これで変数uをひっぱりだしてきました。これから
　y＝－(v0/u)x　　(8)
また、(3)から
　x＝(x^2+y^2)u　(9)
となりますので、(9)を(8)に入れるとuがうまい具合に消えて
　y＝－(x^2+y^2)v0　(10)
となります。もうこれで変数uのことは一切気にしないで済みますね。そこで(10)を展開整理すれば、、、キチンと(5)の円の方程式が得られることになります。

回答No.1

pomo0620

逆像という述語は覚えていないんですが、いじっていたら式がでてきたので一応書いてみますね。

w=1/z=1/(x+iy)=(x-iy)/(x+iy)(x-iy)=(x-iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-iy/(x^2+y^2)=u+iv

v=v0であるから、
-y/(x^2+y^2)=v0

式を変形して
x^2+y^2+2・y・(1/2v0)+(1/2V0)^2=(1/2V0)^2

ゆえに
x^2+(y+1/2v0)^2=(1/2V0)^2

細かい表現は違っているかもしれませんので確かめてくださいね。