重積分の変数変換

質問

∫∫∫(1-x-y-z) dxdydz　(0≦x≦y、z≧0、x+y+z≦1)

この問題で、直交座標を下のように斜行変換して、

u=x+y+z
v=y+z/x+y+z
w=z/y+z

以下のように式変換します。

x=u(1-v)
y=uv(1-w)
z=uvw
よりヤコビアンを求めて

∫∫∫(1-u)vu^2 dudvdw

このときに、u,v,wの値の範囲は、

0≦u≦1
0≦v≦1
0≦w≦1

でいいのでしょうか？
考え方がよくわかりません・・・。
教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1での積分結果は「1/48」は確認済みです。
質問者の計算過程が書いてありませんので途中計算はわかりませんが
> もう一度計算したら1/24になったんですが・・・。
今一度確認願います。

A#1の1行だけ転記ミスがありましたので
> =(1/2)∫[0,1/2] dx∫[x,1-x](1-x-y-z)^2 dy
正：(1/2)∫[0,1/2] dx∫[x,1-x](1-x-y)^2 dy

> xとyの積分の時に、
> どうやったら積分区間がわかるのでしょうか?
積分領域を立体的に描いて把握すればわかりやすいと思います。

逐次積分の順序を変えれば次のように書けます。
=∫[0,1/2] dx∫[0,1-2x]dz∫[x,1-x-z](1-x-y-z)dy
これを計算しても「1/48」と得られます。

回答No.1

info22_

特に変数変換をする必要はないと思います。

普通の逐次積分で積分可能です。
>∫∫∫[D](1-x-y-z) dxdydz　(D:{0≦x≦y、z≧0、x+y+z≦1})
=∫[0,1/2] dx∫[x,1-x]dy∫[0,1-x-y](1-x-y-z)dz

と表現でき、各変数について後ろから積分していくと

=∫[0,1/2] dx∫[x,1-x]dy [(1-x-y)z-(1/2)z^2](z=1-x-y)
=∫[0,1/2] dx∫[x,1-x]dy [(1-x-y)^2-(1/2)(1-x-y)^2]
=(1/2)∫[0,1/2] dx∫[x,1-x](1-x-y-z)^2 dy
=(1/2)∫[0,1/2] dx [(-1/3)(1-x-y)^3] (y=x,1-x)
=(1/6)∫[0,1/2] [(1-2x)^3] dx
=(1/6)[(-1/8)(1-2x)^4](x=0,1/2)
=(1/6)(1/8)[1]
=1/48　…(■)

となります。

質問者算が導出した積分
>∫∫∫[0≦u≦1,0≦v≦1,0≦w≦1] (1-u)vu^2 dudvdw
を実行すると
=1/36
と出てきます。
当方の計算結果(■)と一致しません。
変数変換の過程どこかにミスがあると考えられますので
チェックしてみてください。

補足

僕のやり方でもう一度計算したら1/24になったんですが・・・。

あと、xとyの積分の時に、
どうやったら積分区間がわかるのでしょうか?