複素関数、双曲線関数の問題

質問

関数w=coszで、z=x+yi,w=u+viと置く時,w=coszによってz平面状の直線"x=π/4(-∞<y<∞)"はw平面状の
どのような図形に移るか
(解答…双曲線2(u^2)-2(v^2)=1の右半分)

u+vi=cos(x+yi)
　　=cosx・cos(yi)-sinx・sin(yi)
　　=cosx・cos(hy)-sinx・sin(hy)

と直したのですが、ここからxの式をどう導くのかがわかりません
そのままx=π/4を代入しても、
u+vi=(1/√2)cos(hy)-(1/√2)sinhy　となり、解答の式に持っていくことができません

ご教授、お願いします

回答No.1

gatch_ky · ベストアンサー

cosz={e^(z*i)+e^(-z*i)}/2
を使うんじゃ。

お礼

失礼しました
失礼しました
2(u^2) - 2(v^2) 　でした・・・
お礼欄にて再度補足させていただきます
=2{ {(1/2)(e^(2y) + 2 + e^(-2y))}/4}
-2{ {(1/2)(e^(2y) - 2 + e^(-2y))}/4}

=(4+4)/4
=2
≠1

やはりどこか間違えているのでしょうか・・・？

補足

回答、有難うございます
cosz={e^(z*i)+e^(-z*i)}/2
を用いて計算してみたところ、
w=cosz　より
u+vi=cosz
e^z = e^(x+yi) = (e^x)(e^yi) = (e^x)(cos(y) + isin(y) ) より、

　　={e^(x+yi)i +　e^{-(x+yi)i}}/2
　　={e^(-y+xi) + e^(y-xi)}/2
　　={(e^(-y)) * (cos(x) + isin(x)) + e^y * (cos(-x) + isin(-x))}/2
　　={cos(x) * (e^y + e^(-y)) - sin(x)*((e^y)-(e^(-y)))i}/2

係数を比べて、
u={cos(x)(e^y + e^(-y)}/2
v={sin(x)(e^(-y)-e^y)}/2
=-{sinx(e^y - e^(-y))}/2

x=π/4を代入し、
u={(1/√2)(e^y + e^(-y))}/2
v=-{(1/√2)(e^y - e^(-y))}/2

(2(u^2)-2(v^2)=1　が解答なので、)
2(u^2) + 2(v^2)
=2{ {(1/2)(e^(2y) + 2 + e^(-2y))}/4}
+2{ {(1/2)(e^(2y) - 2 + e^(-2y))}/4}

={e^(2y) + e^(-2y)}/2　　
≠1

となってしまい、答えがかみ合わなくなってしまいました
どこか途中計算法が間違っていたりするのでしょうか・・・?